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Ogni espressione algebrica in un colpo solo comprende infinite espressioni aritmetiche che ne sono casi particolari. Il passare dal caso particolare a quello generale si dice generalizzare ed è un processo che avviene per astrazione; il passare dal caso generale a quello particolare si dice applicare ed è un processo che avviene per sostituzione. L'algebra è, perciò, un'estensione dell'aritmetica e permette di formulare in generale le leggi dell'aritmetica.
Ti è già capitato di generalizzare. Ricordi la missione McGRANITT?
Ciò che rende generale la formula è il quantificatore ∀ "per ogni": è proprio questo simbolo che generalizza.
Nell'aritmetica le espressioni non contengono lettere o, meglio, le lettere sono per così dire... invisibili (hanno esponente nullo): sono perciò un caso particolare di espressioni algebriche.
Inoltre, l'aritmetica vuole determinare il valore di precise espressioni numeriche attraverso l'applicazioni delle operazioni aritmetiche. All'algebra, invece, il valore delle espressioni non interessa rispetto ai procedimenti e alle relazioni che legano variabili e numeri, soprattutto quelle che permettono di determinare valori incogniti delle variabili in gioco (equazioni).
“Ciò che distingue l'algebra in modo essenziale dall'aritmetica e dalla geometria è il fatto che il suo oggetto non consiste nel trovare proprio i valori delle quantità cercate, ma nell'individuare il sistema delle operazioni da eseguire sulle quantità date per derivarne le quantità cercate, secondo le condizioni del problema. La sequenza di tali operazioni è quello che in algebra si chiama una formula; quando una quantità dipende da altre in modo che sia possibile esprimerla con una formula che contiene queste ultime, si dice allora che essa è funzione di tali quantità. Dunque si può definire l'algebra come l'arte di determinare le incognite come funzioni di quantità note o che si considerano tali.“
J. L. Lagrange (1736-1813)
Prima di scoprire l'immenso potere del calcolo letterale, facciamo ora un piccolo passo indietro per completare lo studio degli insiemi di numeri e delle loro proprietà...
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