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Per passare dalla notazione frazionaria a quella posizionale, è sufficiente eseguire la divisione fra numeratore (dividendo) e denominatore (divisore).
Non è sempre comodo eseguire una divisione, lo sai bene... c'è un caso in cui, invece, è facilissimo: quando la frazione è decimale. Intuisci che cosa questo significhi?
Nel caso di frazioni apparenti, la divisione è una divisione fra interi, immediata se il denominatore è 1.
Nel caso di frazioni decimali, cioè frazioni che abbiano come denominatore una potenza di 10, la divisione risulta molto semplice: basta spostare la virgola del numeratore a sinistra di tanti posti quanti indicati dall'esponente della potenza di 10 a denominatore, cioè di tanti zeri quanti a denominatore:
Otteniamo così il suo valore che, espresso nella notazione posizionale, risulta decimale limitato.
Tutte le frazioni che esprimono un numero decimale limitato possono essere trasformate in frazioni decimali e, quindi, essere poi espresse direttamente nella notazione posizionale: basta applicare la proprietà invariantiva, moltiplicando numeratore e denominatore per il fattore che manca al denominatore per diventare una potenza di 10, e la proprietà del prodotto di potenze con uguale esponente, per esprimere il denominatore come potenza di 10.
Per le altre frazioni, non c'è molto altro da fare se non dividere... ma puoi utilizzare un tuo "superpotere": data una frazione, una volta che sia ridotta ai minimi termini, ti basta guardarne il denominatore per dedurre almeno a quale tipo di numero razionale corrisponda il suo valore!
Come mostrato nel video, senza eseguire la divisione, si può comunque stabilire il tipo di numero razionale a cui la frazione corrisponda, dopo averla ridotta ai minimi termini, considerandone il denominatore:
A) se esso è 1, la frazione è apparente e il suo valore è un numero intero;
B) se esso non è 1, basta fattorizzarlo e considerare le eventuali potenze di 2 o di 5. Ci sono 3 casi possibili:
se ci sono soltanto potenze di 2 o di 5, il suo valore è un numero decimale limitato;
se non ci sono potenze né di 2 né di 5, il suo valore è un numero decimale illimitato periodico semplice;
se ci sono anche potenze di 2 o di 5, oltre ad altri fattori primi, il suo valore è un numero decimale illimitato periodico misto.
Ti vedo: stai cercando un modo per associare correttamente al singolo caso il tipo di razionale corrispondente, vero? Ecco, allora, per te un piccolo aiuto visuale: immagina di ripartire l'insieme dei numeri primi in 2 insiemi distinti complementari...
TUTORMATH
Se, invece, ti pare di memorizzare meglio le procedure, ecco un algoritmo tutto per te:
L'algoritmo da seguire può, perciò, essere il seguente:
1. ridurre ai minimi termini
2. il denominatore è 1?
sì → numero intero ok!
no → fattorizzo
3. ci sono potenze di 2 o 5 nel denominatore?
no → numero decimale illimitato periodico semplice ok!
sì → ci sono solo potenze di 2 o 5 oppure ci sono anche altri fattori?
solo → numero decimale limitato ok!
anche → numero decimale illimitato periodico misto ok!
TUTORMATH
Sì, forse ora ti è chiaro come associare tipo di frazione a tipo di razionale... ma perché è proprio così? Sapresti spiegare il perché di questa regola? Sai, fidarsi è bene, ma dimostrare è meglio!!!
Il caso del denominatore 1 è banale, ma forse non lo sono altrettanto gli altri.
Ogni frazione ridotta che contenga a denominatore soltanto 2 o 5, come mostrato a inizio pagina, può essere trasformata in frazione decimale e, quindi, in decimale limitato.
Se, invece, nel denominatore di una frazione ridotta compaiono fattori primi diversi dai soli 2 e 5, la frazione non può essere trasformata in frazione decimale e, quindi, in decimale limitato. Nella divisione si generano via via resti la cui successione prende a ripetersi, generando il periodo che inizia subito se non ci sono fattori uguali a 2 o 5 oppure più tardi, ritardato da eventuali fattori uguali a 2 o 5.
Scopri anche la strategia "inversa" per trasformare in frazione i numeri razionali dalla notazione posizionale oppure torna alla pagina precedente, di sintesi.
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