PARI E DISPARI

L'insieme dei numeri naturali è formato da 2 suoi sottoinsiemi: l'insieme dei numeri pari, che si ottiene moltiplicando per 2 ogni numero naturale (cioè l'insieme dei multipli di 2), e quello dei numeri dispari che si ottiene aggiungendo una unità a ogni numero pari. Perciò indichiamo con 2ℕ l'insieme dei numeri pari (è sottinteso l'operatore ∙ fra il 2 e ℕ) e con  2ℕ+1 quello dei numeri dispari:

2ℕ = {x | x  = 2∙n, n ∈ ℕ} = {0, 2, 4, 6, 8, ...}

2ℕ+1 = {x | x  = 2∙n + 1, n ∈ ℕ} = {1, 3, 5, 7, 9, ...}

Dal significato geometrico della moltiplicazione fra due numeri come area del rettangolo che ha per dimensioni tali numeri, cioè dalla rappresentazione dei numeri rettangolari, segue questa rappresentazione geometrica dei pari e dei dispari:

I numeri dispari godono, inoltre, di una proprietà interessante che li caratterizza: ogni numero dispari può essere caratterizzato come differenza di 2 quadrati.

In particolare: il numero pari 2n, rappresentando l'area di un rettangolo di dimensioni 2 e n, tende a crescere all'infinito al crescere di n, mentre il numero pari 2n+1, che rappresenta la somma dell'area di un rettangolo di dimensioni  2 e n e di quella di un quadrato di lato 1, pare venire in qualche modo limitato dal quadrato stesso.

Ecco perché i numeri pari rappresentavano il tanto destabilizzante perché illimitato infinito (di cui avevano orrore!), identificato con il genere femminile, mentre i dispari il finito, stabile, armonico e rassicurante, identificato con il genere maschile.

1 era considerato dai Pitagorici "parimpari", cioè né pari né dispari, origine di tutti gli altri numeri naturali.

0 non era da loro considerato (anche il nulla li spaventava assai!) né come numero dal significato che oggi gli attribuiamo né come cifra: le sue prime tracce risalgono all'indiano BRAHMAGUPTA (628 d.C.), poi riprese dal persiano AL KHAWARIZMI (IX secolo d.C.) e poi finalmente introdotto in Occidente dal celebre Leonardo PISANO, detto FIBONACCI, nel 1202, nel suo "Liber Abaci", pietra miliare nella storia della matematica.

Ogni numero naturale o è pari o è dispari: per questo i dispari si chiamano così infatti, "dis-pari" significa "non pari"; sono dispari i numeri naturali che non sono pari. Pari e dispari sono perciò fra loro complementari rispetto a ℕ. Questo significa che:

2ℕ e  2ℕ+1 ripartiscono ℕ.

Infatti:

•  2ℕ e  2ℕ+1 non sono vuoti;

• l'unione di 2ℕ e  2ℕ+1 ricopre tutto l'insieme ℕ:   2ℕ U  2ℕ+1 = ℕ;

• l'intersezione di 2ℕ e  2ℕ+1 è vuota: 2ℕ ∩   2ℕ+1 = ∅.

Consideriamo le operazioni dirette (cioè addizione e moltiplicazione) negli insiemi 2ℕ e 2ℕ+1:

Quindi, l'insieme 2ℕ è chiuso rispetto a entrambe le operazioni.

Invece, l'insieme 2ℕ+1 non è chiuso rispetto all'addizione, poiché la somma di 2 numeri dispari è un numero pari, ma lo è rispetto alla moltiplicazione.