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Ora che sai ridurre somme e differenze di frazioni, è tempo per te di affrontare prodotti e quozienti tra frazioni: vedrai, sarà un gioco da ragazzi!
Mentre l'addizione è un'operazione fra addendi simili, il prodotto non fa distinzioni e accetta qualsiasi termine come fattore. Così è anche per le frazioni che possono essere sempre moltiplicate fra loro, qualunque esse siano.
NOTA BENE: per ogni frazione diversa da 0, esiste una e una sola frazione reciproca.
Quindi: come già le frazioni complementari, anche quelle reciproche "vanno a coppie"!
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Il risultato della complementarietà è lo stesso della reciprocità: in entrambi i casi è l'intero.
Essere reciproche o complementari significa in entrambi i casi essere l'una l'inversa dell'altra rispetto all'operazione considerata.
Domandona: il prodotto di 2 frazioni le accresce sempre? Il quoziente fra 2 frazioni le riduce sempre?
ATTENZIONE: frazionare non sempre significa ridurre!
Infatti, mentre nell'insieme dei numeri naturali quasi tutti accrescono l'altro fattore (tranne i fattori 0 e 1) e qualsiasi divisore naturale non nullo riduce il dividendo, nell'insieme dei numeri razionali la moltiplicazione accresce gli operandi se e solo se essi sono entrambi maggiori di 1, così come la divisione riduce il dividendo se e solo se il divisore è maggiore di 1.
Hai visto che l'insieme delle frazioni - e, con lui, l'insieme dei numeri razionali - è chiuso rispetto a tutte le 4 operazioni! Abbiamo raggiunto il nostro obiettivo! Ti meriti un momento di svago... alla maniera di Tripotter! :)
PLAYMATH Gioca con le frazioni reciproche! Ricordi il domino? Le tessere del domino sono 28; considera soltanto quelle che hanno i numeri da 1 a 6 (sclusi, cioè quelle che hanno lo zero in almeno una delle due parti della tessera).
Ogni tessera, posizionata in verticale, può essere vista come una frazione il cui numeratore è il numero in alto e il cui denominatore è quello in basso. Ogni tessera può essere capovolta, ottenendo la reciproca.
Domanda 1: come sono fra loro le 2 frazioni che ottieni considerando la tessera, prima e dopo averla capovolta?
Ora: possiamo costruire piramidi additive di tessere, come in questo esempio:
Domanda 2: sai costruire una piramide a 2 piani la cui sommità sia equivalente l'unità?
Domanda 3: sai costruire una piramide a 3 piani la cui sommità sia equivalente l'unità?
Manipola le tessere per rispondere, a partire da questa lavagna di Mathigon!
Un piccolo suggerimento? Per riuscirci, considera le frazioni equivalenti...
(sfida ispirata a Gifted Mathematics)
Non ti resta che passare alle potenze di frazioni e... alle frazioni di potenze!
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