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Scoprire l'aritmetica delle frazioni, intese cioè come enti con proprie caratteristiche, ci permetterà di comprendere di quali proprietà goda l'insieme dei numeri razionali. Cerchiamo, quindi, di dedurre le proprietà delle operazioni nell'insieme delle frazioni:
Poiché le 4 operazioni elementari sono interne all'insieme ℚ, allora ℚ è chiuso rispetto alle 4 operazioni elementari.
Ti ricordi che cos'altro ti avevo spoilerato di ℚ, quando te l'ho presentato?
Inoltre, ℚ è denso: fra 2 numeri razionali qualsiasi è sempre possibile individuare un altro numero razionale. Altrimenti detto: in ogni intervallo di numeri razionali è sempre possibile individuare un altro numero razionale diverso dagli estremi.
Confronta la densità di ℚ con quanto avevi visto, invece, per ℕ... Ricordi?
Si può dimostrare la densità di ℚ in tanti modi.
Uno è calcolare la media aritmetica fra i 2 valori (semi-somma dei 2 valori): poiché la semi-somma di 2 frazioni è ancora una frazione, la media aritmetica fra i 2 valori è ancora un numero razionale compreso fra i 2 valori.
Un altro è, ad esempio, dimostrare che, date 2 frazioni a/b < c/d, la frazione (a+b)/(c+d) è tale che:
Quindi non è possibile determinare il precedente e il successivo di un numero razionale, a differenza di quanto accade per i numeri interi e per i naturali diversi da 0. Quindi non c'è consecutività fra numeri razionali, poiché non è possibile elencare tutti i singoli elementi che li caratterizzano. Tuttavia, poiché ℚ è ordinato e numerabile, il fatto che non si possa stabilire quale sia il successivo di un numero razionale non impedisce di confrontare 2 razionali per stabilire chi sia il maggiore né di considerare in una certa successione infinita tutti i razionali.
Via via emergono chiare analogie e differenze fra ℕ, ℤ e ℚ, come queste...
Come il segmento in geometria, anche l'intervallo in aritmetica è definito dai suoi estremi che bastano a identificarlo perché tutti i suoi numeri sono compresi fra gli estremi e quindi è chiaro quale sia l'insieme dei numeri considerati. Ma se in un un segmento non ci sono né buchi né tratteggi (non stacchi la penna dal foglio per disegnarlo, cioè è un tratto continuo), questo varrà anche per gli intervalli di ℚ? O forse fra i razionali si nascondono altri numeri? Seguimi e lo scoprirai. Per il momento restiamo in ℚ e andiamo a conoscere un'altra operazione...
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