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Tu che ormai conosci ogni magia insiemistica, come suddivideresti l'insieme delle frazioni, raggruppandole in classi accomunate da una stessa caratteristica?
Le frazioni possono essere raggruppate in classi per similitudine, l'insieme delle frazioni può cioè essere ripartito in sottoinsiemi di frazioni simili, quindi in funzione del denominatore:
Si tratta di una autentica classificazione, cioè di una partizione infinita dell'insieme delle frazioni in sottoinsiemi infiniti che hanno la caratteristica di contenere ciascuno tutte e sole le frazioni con uno stesso denominatore.
Oltre alla classificazione per similitudine, si può considerare anche una seconda classificazione, una tripartizione in funzione del confronto fra numeratore e denominatore, tripartizione valida anche per l'insieme Q dei numeri razionali (a meno di equivalenza tra frazioni):
APPARENTI: frazioni in cui il numeratore, in valore assoluto, è multiplo del denominatore;
PROPRIE: frazioni non apparenti in cui il numeratore, in valore assoluto, è minore del denominatore;
IMPROPRIE: frazioni non apparenti in cui il numeratore, in valore assoluto, è maggiore del denominatore.
Perché questi nomi? Beh, lo avrai indovinato: sono APPARENTI quelle frazioni che "frazionano" l'intero senza davvero spezzettarlo come ci si aspetta, invece, da una "vera" frazione che riduce l'intero a un decimale che per questo è detta PROPRIA. Allo stesso modo una frazione che non faccia "rimpicciolire" l'intero che spezzetta ma, al contrario, lo faccia "ingrandire" non fa quello che ci si aspetta da uno "spezzettamento" e perciò è detta IMPROPRIA. Puoi, infatti, notare quanto segue:
le frazioni apparenti esprimono tutti e soli i numeri interi (0 è multiplo di ogni naturale);
le frazioni proprie esprimono tutti e soli i numeri razionali degli intervalli (-1;0) e (0;1), sono perciò decimali;
le frazioni improprie esprimono tutti e soli i numeri razionali non interi (cioè decimali) degli altri intervalli.
Questa classificazione è molto interessante perché le 3 classi di frazioni hanno comportamenti molto diversi fra loro: le frazioni proprie, per esempio, se elevate a potenza naturale, si riducono a differenza di tutte le altre che, invece, crescono, come vedremo più avanti. Allora come procedere per classificare in questo modo una qualsiasi frazione?
TUTORMATH
Mettiti subito alla prova! Tripotter sta andando in pezzi: le frazioni sono scappate dall'intero e stanno sminuzzando tutto ciò che incontrano! Cerca di catturarle tutte e... blindarle finalmente nelle loro classi!
Missione compiuta? Molto bene! In quale altro modo potresti classificare le frazioni?
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