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Eh già: negli insiemi di numeri la sottrazione e la divisione non sono commutative, mentre l'addizione e la moltiplicazione lo sono! Detto questo, secondo te, se vale la proprietà commutativa fra più di 2 termini, possiamo commutarli ripetutamente fino a ottenere una qualsiasi permutazione, cioè una sequenza qualsiasi dei termini?
Si può dimostrare che, se un'operazione è associativa e commutativa in un certo insieme, allora la commutatività può essere estesa anche a più di 2 termini, permutandoli a piacere (quindi si può non solo commutare i primi 2 fra loro, bensì anche gli altri).
Esempio: 2 ∙ 3 ∙ 5 = 5 ∙ 3 ∙ 2 = 2 ∙ 5 ∙ 3 = 5 ∙ 2 ∙ 3 = 3 ∙ 2 ∙ 5 = 3 ∙ 5 ∙ 2 = 30
Invece, se manca l'associatività, la commutatività fra 2 termini non basta a garantire la commutatività estesa. E questo è un fatto tutt'altro che banale!
Vuoi un esempio? Ricordi l'operazione con cui mi hai salvata? Non è associativa, ma è commutativa, poiché lo è la moltiplicazione:
Eppure non è commutativa in senso esteso, cioè fra più di 2 termini, poiché il risultato dipende dall'ordine di esecuzione, quindi risente della mancanza dell'associatività. A 3 termini, ad esempio, il risultato dipende da quello che si opera per ultimo:
Quindi, ricorda: l'associatività è necessaria per la commutatività estesa!
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