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Che cosa significa che 4 termini A, B, C e D formano una proporzione?
A, B, C e D formano una proporzione se l'uguaglianza A : B = C : D è vera.
Quindi: A : B = C : D è una proporzione se l'uguaglianza A : B = C : D è vera.
Bello! Ma allora come facciamo a essere sicuri che l'uguaglianza sia vera, cioè che quella che sembra una proporzione... lo sia davvero?
Se scriviamo i 2 membri di una proporzione in forma frazionaria, risulta evidente che il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi (come già visto nel confronto di frazioni).
Possiamo, quindi, enunciare quanto segue:
Fantastico! Hai a disposizione un vero e proprio criterio per capire se 4 termini formino una proporzione: ti basta confrontare il prodotto dei medi con il prodotto degli estremi e verificare che siano uguali! Ma per smascherare la falsità di una proporzione a volte basta molto meno...
Per dedurre la falsità di una proporzione, si può considerare una condizione necessaria (ma non sufficiente) affinché una proporzione sia vera, cioè una conseguenza che necessariamente una proporzione vera produce:
la stessa relazione d'ordine che c'è nel primo rapporto deve esserci nel secondo.
Quindi, se, per esempio, A < B ma C > D, deduciamo immediatamente che la proporzione è falsa.
Inoltre, si può ricorrere a un altro "stratagemma" che diremo "di Pietro", poiché è proprio un tuo compagno di avventura che porta questo nome ad averlo intuito...
STRATAGEMMA DI PIETRO: in una proporzione con i termini naturali, se 1 solo termine è pari, allora la proporzione è certamente falsa.
Infatti, il prodotto dei medi deve avere la stessa parità degli estremi (e se un solo termine è pari il prodotto che lo contiene sarà pari, mentre l'altro sarà dispari).
Infine, questa proprietà ti permette di dimostrare che in una proporzione non sono soltanto le relazioni fra antecedente e proprio conseguente a essere fra loro uguali...
In ogni proporzione:
anche la relazione fra conseguente e proprio antecedente è la stessa nei 2 membri:
anche la relazione fra gli antecedenti è la stessa relazione che c'è fra i conseguenti:
Valgono, infatti, le seguenti altre proprietà...
Che cos'hanno in comune? Se le si applicano a una proporzione data A : B = C : D si ottiene ancora una proporzione, nuova (cioè generalmente diversa da quella che l’ha generata). Enunciamole ora in modo esplicito:
Valgono, infine, le proprietà del comporre e dello scomporre:
So che tu hai fiducia in me e quindi mi credi, ma... il matematico non prende mai per buono ciò che gli si dice senza averlo dimostrato, sai? E allora prova a dimostrare queste proprietà!
MATHLAB Dimostra che se A : B = C : D è una proporzione, allora anche:
B : A = D : C è una proporzione (proprietà dell'invertire)
A : C = B : D è una proporzione (proprietà del permutare)
D : B = C : A è una proporzione (proprietà del permutare)
(A + B) : B = (C + D) : D è una proporzione (proprietà del comporre)
A : (A + B) = C : (C + D) è una proporzione (proprietà del comporre)
(A - B) : B = (C - D) : D è una proporzione (proprietà dello scomporre)
A : (A - B) = C : (C - D) è una proporzione (proprietà dello scomporre)
Le si possono applicare quando i termini di un rapporto non siano noti, ma se ne conosca la somma o la differenza... Questo ci porta a chiederci più in generale: data una proporzione in cui uno o più termini non siano noti, si possono determinare gli altri in modo che l'uguaglianza risulti vera?
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