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Se tutti i termini di una proporzione sono noti (cioè espressi da un valore costante), allora l'unica azione da compiere è verificare che la proporzione sia vera, confrontando il prodotto dei medi con quello degli estremi.
Esempio:
verificare se la proporzione 5: 12 = 20 : 48 è vera.
Prodotto dei medi = 12 ∙ 20 = 240
Prodotto degli estremi = 5 ∙ 48 = 120
La proprietà fondamentale delle proporzioni garantisce che, poiché i 2 prodotti coincidono, la proporzione è necessaramente vera.
Se, invece, uno o più termini di una proporzione sono incogniti, si può cercare di determinarne i valori che rendono vera l'uguaglianza: questo significa risolvere la proporzione. Precisamente: se c'è un solo termine, la proporzione è sempre "risolvibile", ancora una volta merito della proprietà fondamentale delle proporzioni!
Se in una proporzione un termine è incognito, allora la proporzione diventa un'equazione che può essere risolta. Risolvere una proporzione significa determinare il valore dell'incognita che sostituito a essa renda vera l'uguaglianza:
x = valore è soluzione di A : B = x : D se e solo se l'uguaglianza A : B = valore : D è vera.
Ora che sai che cosa significhi risolvere una proporzione, vorrai sapere come si risolva, giusto?
Dimostriamo la formula risolutiva:
Quindi: prima di risolvere una proporzione, chiediti quale ruolo ricopra l'incognita (medio o estremo) e poi applica la formula risolutiva, moltiplicando a numeratore i 2 termini che hanno un ruolo diverso da quello dell'incognita e ponendo come denominatore l'unico termine non ancora considerato.
NOTA BENE: se i termini della proporzione sono frazionari, conviene scrivere in sequenza le operazioni anziché in forma frazionaria, in modo da poter più facilmente semplificare.
In certi casi, si può persino evitare di ricorrere alla formula risolutiva. Conoscere le proprietà delle proporzioni dell'invertire e del permutare, infatti, permette di risolvere a colpo d’occhio alcune proporzioni, evitando di dover applicare direttamente la proprietà fondamentale.
Esempio:
risolvere la proporzione 6 : x = 8 : 40
Notiamo che la relazione fra 40 e 8 è "essere il quintuplo di".
Quindi anche la relazione fra x e 6 deve essere la stessa, affinché l'uguaglianza sia vera; pertanto x = 30.
Abbiamo applicato, senza accorgercene, la proprietà dell'invertire, passando dalla proporzione iniziale a:
x : 6 = 40 : 8
Esempio:
risolvere la proporzione x : 5 = 9 : 15
Notiamo che la relazione fra 15 e 5 è "essere il triplo di".
Quindi anche la relazione fra 9 e x deve essere la stessa, affinché l'uguaglianza sia vera; pertanto x = 3.
Abbiamo applicato la proprietà del permutare (gli estremi, in questo caso), passando dalla proporzione iniziale a:
15 : 5 = 9 : x
Guarda, ora, come puoi servirti, invece, delle altre 2 proprietà, comporre e scomporre, in alternativa alla strategia grafica delle parti:
Esempio:
determinare 2 numeri sapendo che la loro somma S è 20 e il loro rapporto R è 4 : 1 (cioè sono uno il quadruplo dell'altro).
Riscriviamo il rapporto R sotto forma di proporzione:
x : y = 4 : 1
Applichiamo la proprietà del comporre:
(x + y): y = (4 + 1) : 1
ottenendo la nuova proporzione equivalente a quella di partenza:
(x + y): y = 5 : 1
Poiché x + y = S = 20, allora sostituiamo 20 nella proporzione:
20 : y = 5 : 1
Possiamo risolvere "a occhio" la proporzione, cioè considerando il rapporto fra i conseguenti, applicando la proprietà del permutare i medi, come visto prima:
20 : 5 = y : 1
La relazione fra antecedenti e rispettivi conseguenti è "essere il quadruplo", quindi: y = 4.
Allora, possiamo ripetere il procedimento per determinare x, applicando la proprietà del comporre nella sua seconda forma:
(x + y): x = (4 + 1) : 4
oppure dedurre x per differenza dalla somma (preferibile perché più immediato):
x = 20 - y = 20 - 4 = 16
Quindi: x = 4, y = 16.
Chiara l'astuzia? Applicherai il comporre se conosci la somma dei 2 dati incogniti, lo scomporre se ne conosci la differenza.
Ricapitolando: ora sei in grado di risolvere proporzioni con un termine incognito e proporzioni con un rapporto incognito, purché sia nota la somma o la differenza dei suoi 2 termini.
C'è ancora un caso: la risoluzione delle frazioni continue!
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