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Euclide - sempre lui! - torna con una, anzi 2 sorprese per te, 2 teoremi che si fondano su un'osservazione tanto semplice quanto sorprendente:
EUCLIDE nel libro VI della sua opera "Elementi" osserva che l'altezza relativa all'ipotenusa divide il triangolo rettangolo in 2 altri triangoli rettangoli simili a quello di partenza e, quindi, simili fra loro.
Precisamente scrive:
Ἐὰν ἐν τριγώνῳ ὀρθογωνίῳ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς γωνίας ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἀχθῇ, τὰ πρὸς τῇ καθέτῳ τρίγωνα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοις.
Tradotto in italiano: "Se in un triangolo rettangolo si conduce l'altezza dall'angolo retto alla base [l'ipotenusa], i triangoli vicini all'altezza sono simili al triangolo intero e simili tra loro."
Da questa osservazione prendono vita, come conseguenza diretta, i 2 teoremi:
Quindi: ancora una volta sono le relazioni all'interno di un triangolo rettangolo a essere messe in evidenza! Fissa i concetti:
TUTORMATH
Ora cerca di studiare le dimostrazioni dei 2 teoremi, passo a passo, grazie a queste 2 animazioni di CampMate!
Andiamo oltre: anche in questo caso, come già hai visto succedere per il teorema di Pitagora, vale il viceversa, cioè i teoremi di Euclide sono un ottimo alleato per smascherare triangoli che rettangoli non sono!
CRITERIO: un triangolo è rettangolo se e solo se le proporzioni dei teoremi di Euclide sono vere.
Consideriamo, per esempio, il 2° criterio e immaginiamo di considerare un triangolo rettangolo, quindi di prolungarne o accorciarne l'altezza relativa all'ipotenusa, senza modificare le due proiezioni dei cateti sull'ipotenusa:
il triangolo si "deformerà", diventando acutangolo se l'altezza cresce oppure ottusangolo se decresce.
Questo ci permette di visualizzare un concetto fondamentale:
c'è un unico caso in cui il triangolo risulti rettangolo ed è quello per cui sia vera la proporzione del 2° teorema, cioè quello in cui l'altezza risulti esattamente uguale alla radice del prodotto delle 2 proiezioni;
se l'altezza è maggiore della radice quadrata del prodotto delle 2 proiezioni, allora il triangolo è acutangolo;
se l'altezza è minore della radice quadrata del prodotto delle 2 proiezioni, allora il triangolo è ottusangolo.
Quante belle relazioni hai visto finora, fra un poligono e l'altro e anche all'interno degli stessi! Allora è tempo di lasciare il loro mondo delle "spezzate" per conoscere altri abitanti del piano...
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