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Funzioni? In realtà ne conosci già alcune, ma non sai che lo sono...
La funzione è una relazione fra 2 insiemi che a ogni elemento del 1° insieme X, detto dominio, associa uno e un solo elemento del 2° insieme.
Guarda bene la figura: da ogni punto rosa deve partire una freccia che colpisca esattamente un punto viola, cioè almeno uno e non più di uno.
Esempio:
le seguenti relazioni non sono funzioni.
Infatti:
in quella di sinistra, c'è un elemento del 1° insieme che non è messo in relazione con alcun elemento (contro la richiesta che ogni elemento del 1° insieme sia messo in relazione con almeno un elemento del 2°);
in quella di destra, c'è un elemento del 1° insieme che è messo in relazione con 2 elementi (contro la richiesta che ogni elemento del 1° insieme sia messo in relazione con non più di un elemento del 2°).
MATHLAB Prendi confidenza con il concetto di funzione grazie a questo primo laboratorio di Phet Colorado:
Un elemento y del 2° insieme che venga "colpito" da una freccia scoccata da f a partire dall'elemento x viene detto immagine di x e si indica così: y = f(x).
y=f(x) è "immagine" di x perché y è ciò che x vede di sé quando "si specchia" in Y!
MATHLAB Grazie a questo secondo laboratorio di Phet Colorado, deduci l'equazione delle funzioni date, guardando gli "effetti" (output) che inducono sugli elementi (input) a cui si applicano, cioè osservando il modo in cui y varia al variare di x.
Ma allora è la funzione proprio ciò che mette in relazione la geometria delle curve con l'algebra delle equazioni: è lei la chiave della geometria analitica! Infatti...
Ogni funzione può essere rappresentata graficamente nel piano cartesiano.
Ma come si fa a rappresentarla?
Se consideriamo l’asse delle ascisse come l’insieme delle x e l’asse delle ordinate come l’insieme delle immagini di x, allora le coppie (x, f(x)), al variare di x in X, sono tutti e soli i punti che descrivono e identificano graficamente la funzione f. L’insieme di tali punti genera una curva che può essere disegnata, come in questo esempio:
Disegnare una retta è un gioco da ragazzi: occorrono e bastano 2 punti!
Fra tutte le funzioni, ce ne sono alcune di particolare interesse, poiché indicano in quale proporzione stiano fra loro le 2 variabili:
Nel caso di proporzionalità diretta, la proporzione è la seguente: 1 : x = k : y da cui l'equazione y = k ∙ x;
Nel caso di proporzionalità inversa, la proporzione è la seguente: 1 : x = y : h da cui l'equazione y = h/x
Nel primo caso, se una raddoppia l'altra raddoppia; nel secondo caso, se una raddoppia l'altra si dimezza.
La domanda, ora, sorge spontanea: a quali curve corrispondono?
A questo punto, viene voglia di rappresentare interamente qualsiasi funzione, anche quelle più complesse: è l'urgenza che si è avvertita nella seconda metà del '600 e che ha aperto la strada a una nuova frontiera: quella dell'analisi matematica. Ma questa è un'altra storia e si dovrà raccontare un'altra volta!
Tu, invece, concludi così il tuo percorso geometrico: congratulazioni!
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