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Hai preso confidenza con lo spazio a 3 dimensioni? Esplora il mondo dei solidi!
I_solidi_e_la_loro_origine.mp4Possiamo definire solido un ente di tale spazio che sia dotato di volume e delimitato da una superficie chiusa: esso divide lo spazio in 2 parti complementari che possiamo distinguere rispettivamente come esterna e al solido e coincidente con il solido.
In modo non rigoroso, possiamo dire che i solidi sono per lo spazio 3D ciò che le figure piane sono per il piano:
FIGURE PIANE : ℝ x ℝ = SOLIDI : ℝ x ℝ x ℝ
cioè figure piane e solidi dividono i loro rispettivi spazi di appartenenza in 2, determinandone un "dentro", limitato, e un "fuori", illimitato.
I solidi che studieremo formano davvero un piccolissimo sottoinsieme rispetto all'insieme di tutti i possibili solidi! Ci limiteremo a quelli che presentano caratteristiche elementari e li esamineremo rispetto alla loro struttura (basi ed eventuale punta) oppure rispetto alle facce:
Scopri ogni dettaglio, navigando in questa presentazione:
MATHLAB Considera la piramide, il prisma e il cubo qui illustrati.
Costruisci una tabella a doppia entrata, indicando per ogni solido, nell'ordine:
il numero di vertici (V)
il numero di spigoli (S)
il numero di facce (F)
Confronta i valori di V, S e F nei 3 casi e congettura:
c'è forse una relazione fra questi 3 parametri?
In caso affermativo, quale potrebbe essere?
Naturalmente un conto è congetturare, un altro dimostrare! Per ora limitiamoci a confrontare la tua congettura con quanto segue...
Per tutti i poliedri semplici, cioè per così dire "senza buchi", concavi o convessi che siano, sussiste una relazione fra il numero di facce (F), il numero di vertici (V) e il numero di spigoli (S), detta relazione di Eulero:
V - S + F = 2
scoperta da CARTESIO (1596-1650) nel 1640 e ripresa da EULERO (1707-1783) nel 1752.
Cartesio e Eulero, rieccoli! Questa loro formula è straordinariamente elegante per la sua semplicità e universalità: hai notato che, certo, non dipende dal numero di facce, ma nemmeno dalle misure? Si tratta, infatti, di una caratteristica topologica!
Fra i poliedri, spiccano per la loro regolarità il tetraedro, il cubo (o esaedro), l'ottaedro, il dodecaedro e l'icosaedro, detti solidi regolari, detti anche platonici per l'interesse che il celebre filosofo greco Platone mostrò nei loro confronti: ciascuno di essi ha per facce poligoni regolari fra loro tutti congruenti e in ogni vertice converge lo stesso numero di spigoli.
Ne consegue che in ogni solido regolare gli angoloidi sono tutti congruenti.
Per la loro regolarità, i poliedri regolari sono ottimi candidati come dadi da gioco, poiché sono equi.
MATHLAB Considera 2 tetraedri che siano una la copia dell'altro e immagina di unirli, facendo combiaciare la faccia di uno e con una dell'altro.
Che tipo di solido ottieni? Come si chiama?
Dimostra che non è regolare.
Come nel piano ogni poligono regolare, con rotazioni opportune, risulta essere sovrapponibile a se stesso, così la regolarità dei poliedri fa sì che, da qualsiasi prospettiva li si guardi, risultino avere sempre la stessa forma.
Eh, ma nel piano, i poligoni regolari sono infiniti... allora come si spiega, invece, che nello spazio i poliedri regolari sono solo 5???
Si dimostra che, fra i poliedri, i solidi platonici sono tutti e i soli che siano:
regolari;
inscrivibili in una sfera (cioè tutti i vertici appartengono alla superficie della sfera).
Come dimostrare che non ci siano altri poliedri regolari? Euclide lo dimostra nei suoi "Elementi"geometricamente. Vuoi una "dritta"? Eccola...
MATHLAB Dimostra che un poliedro regolare non può avere facce esagonali.
Se ce l'hai fatta, allora utilizza il suggerimento per completare la dimostrazione! Sappi che si può dimostrare anche con la relazione di Eulero... Confrontati con i tuoi compagni e poi con questo video, ma fa' presto: una nuova missione ti aspetta!
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