NUMERI FIGURATI

O ancora è possibile rappresentare ogni numero utilizzando forme differenti fra loro secondo la scomposizione in fattori primi, come in questo esempio:

o questo altro, addirittura animato:

La rappresentazione più semplice, resta quella classica, già offerta dai Pitagorici, che caratterizza i naturali come numeri figurati, distinguendoli in triangolari, quadrati, pentagonali... cioè in funzione del poligono che le unità naturalmente compongono. 

Sono, per esempio, numeri triangolari 1, 3, 6, 10... tutti ottenuti in successione, aggiungendo al numero precedente un naturale di volta in volta di un'unità più grande, a partire da 0, formando così triangoli via via più estesi:

0 + 1 = 1; 

1 + 2 = 3;

3 + 3 = 6;

6 + 4 = 10

ottenuti, cioè, dal punto di vista geometrico aggiungendo una base via via crescente di un'unità:

I quadrati perfetti possono certamente essere raffigurati con quadrati di lato lungo quanto la base della potenza che essi esprimono (altrimenti detto di lato lungo quanto la loro radice quadrata):

        0           1     4         9                        16                          25                                36                                        49

Inoltre, alcuni numeri ammettono più di un tipo di rappresentazione. 

Infine, può esserci più di una modalità per raffigurare un numero secondo il modello di uno stesso poligono. Per esempio, una rappresentazione triangolare può avvenire in più di un modo, a seconda che gli elementi dello schema si dispongano sfalsati oppure incolonnati:

Naturalmente questo induce una classificazione diversa dei numeri naturali: come in questo esempio, il numero 6 risulta triangolare nella prima rappresentazione, ma non nella seconda, mentre 9 risulta triangolare nella seconda rappresentazione, ma non nella prima. 

Se rappresentiamo, poi, con un triangolo equilatero ogni elemento dello schieramento, l'aspetto triangolare risulta ancora più evidente:

Questa seconda rappresentazione in un certo senso "completa" la prima, colmandone "i buchi":

Così facendo... permette di rappresentare tutti e soli i quadrati perfetti... come triangoli! 

Quindi, anche se con triangolari intendiamo i numeri secondo la prima rappresentazione, potremo indicare con quadrati triangolari i quadrati perfetti nella seconda rappresentazione.