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Ricordi che la divisione non è un'operazione interna in ℕ? Ciò significa che ℕ non è chiuso rispetto a essa, quindi può capitare che, dividendo fra loro 2 numeri naturali, si sia... sbattuti fuori da ℕ, ottenendo un resto come magra consolazione!
Ogni numero naturale a, se diviso per un altro numero naturale b che non sia 0, produce un quoziente e un eventuale resto. Poiché la divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione, si può allora sempre scrivere a in funzione di b, cioè con un'espressione che contenga b, in questo modo:
a = QUOZIENTE ∙ b + RESTO
Esempio: 66 = 5 ∙ 12 + 6,
con a = 66, QUOZIENTE = 5, b = 12, RESTO = 6
Questa è la relazione di divisibilità che si può sempre definire fra 2 qualsiasi numeri naturali.
Vediamo in dettaglio:
Fantastico, non trovi? Del resto non è forse quello che succede ai 44 gatti dello Zecchino d'Oro, in fila per 6 col resto di 2?
Se ci pensi bene, abbiamo denotato i numeri pari e dispari proprio in questo stesso modo: utilizzando il modulo 2. Infatti, un generico numero dispari può essere indicato con 2n+1 e uno pari con 2n, dove 2 è il modulo (ricorda che la moltiplicazione è commutativa), n è il quoziente e 1 (o 0 se non è indicato) il resto.
MATHLAB Come riconoscere in Excel a quale classe di resto appartenga un numero naturale rispetto a un certo modulo? Possiamo considerare la funzione RESTO(dividendo;divisore): essa restituisce esattamente il resto di una divisione e, quindi, la classe di resto di un numero rispetto a un modulo.
Nell'esempio dei 44 gatti: a quale classe classe di resto appartiene il numero 44 rispetto al modulo 6? Per chiederlo a Excel basta scrivere =RESTO(44;6) e dare l'invio. Nella cella in cui è inserita la formula si leggerà 2 (la formula resta visibile sia nella barra in alto sia nella cella tramite doppio clic).
Poiché i resti possibili sono tanti quanto è b, allora ogni numero naturale appartiene a una e una sola delle b classi di resto. 2 numeri m e n che appartengano alla stessa classe di resto modulo b si dicono congruenti modulo b e ciò si scrive così: m ≡ n modulo b.
Possiamo scegliere un modulo e ripartire tutti i numeri naturali, seppure infiniti, in un numero finito di classi: ancora una volta spunta la partizione e questa volta è l'insieme ℕ a subirla!
L'aritmetica che considera come propri elementi le classi di resto è detta aritmetica modulare.
Diremo che un numero naturale a è divisibile per un altro numero naturale b se nella relazione di divisibilità a = QUOZIENTE * b + RESTO il RESTO è 0 , cioè se a ≡ 0 modulo b.
Se un numero è divisibile per un altro, dividerli non fa uscire da ℕ, poiché il quoziente è ancora un numero naturale.
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