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E se passiamo dalla potenza seconda alla terza? Ci sono numeri naturali che sono potenze terze di numeri naturali?
A essere qualificati come "perfetti" (secondo il significato di potenze la cui radice è un numero intero) non sono solo i quadrati: alcuni naturali sono anche potenze terze di numeri naturali (cioè con base naturale ed esponente 3) e si dicono cubi perfetti.
Esempio: 8 non è potenza seconda di nessun numero naturale, ma è invece potenza terza di 2.
Ti starai forse domandando se ci sia una relazione fra quadrati e cubi perfetti... ottima domanda! Ricordi le successioni e le serie di cui ti ho parlato? Ecco: la serie dei cubi dei primi naturali può essere espressa da una unica formula algebrica...
Quadrati e cubi perfetti sono fra loro in una bellissima relazione, esclusiva per i numeri triangolari, enunciata dal seguente teorema, attribuito al filosofo e matematico greco Nicomaco di Gerasa (I-II secolo d.C.) :
TEOREMA DI NICOMACO: la somma delle potenze terze (cioè dei cubi) dei primi n numeri naturali (avendo escluso 0) è uguale alla potenza seconda (cioè al quadrato) dell'n-esimo numero triangolare:
cioè, utilizzando la notazione specifica delle serie:
Questa illustrazione ne è la dimostrazione grafica per equiscomposizione:
(immagine tratta da Wikipedia)
Puoi vederla più in dettaglio e comprenderla pienamente con opportune animazioni.
Sorprendente, eh? Un enunciato tanto semplice quanto... potente, è proprio il caso di dirlo! E questa sua dimostrazione grafica sembra quasi un'opera d'arte! Non è certamente la sola: si può dimostrare anche per via algebrica, per induzione...
Il teorema di Nicomaco considera la partizione additiva dei quadrati perfetti dei numeri triangolari in cubi. Un aspetto affascinante delle partizioni in cubi riguarda i numeri che possono essere espressi come somma di due cubi positivi in un numero esatto di modi diversi.
Non tutti i numeri possono essere espressi come somma di cubi positivi. Per esempio, 1 non può essere espresso come somma di cubi positivi, mentre 2 può essere espresso in un unico modo come somma di 2 cubi non nulli: 2 = 13 + 13 .
Nella Teoria dei Numeri è interessante chiedersi in particolare se, come e quanto sia possibile esprimere la partizione in 2 cubi positivi di un dato numero naturale n, cioè se sia possibile esprimere n come somma di 2 cubi positivi e, nel caso affermativo, come e in quanti modi possibili.
Esempio:
1) il numero 9 si può esprimere come somma di 2 cubi?
2) Come?
3) In quanti modi diversi?
Possiamo osservare che:
1) poiché 9 è il quadrato del numero triangolare 3 = 1 + 2, il teorema di Nicomaco appena illustrato garantisce che sia possibile esprimerlo come somma di cubi.
2) Infatti: 9 = (1 + 2)2 = 13 + 23
3) Questo è l'unico modo.
PLAYMATH Individua tutti gli 8 naturali minori di 100 che si possono scrivere come somma di 2 cubi positivi.
La somma dei cubi ha interessato anche i geni matematici Ramanujan e Hardy di cui ti ho già parlato a proposito delle partizioni, ricordi?
Si racconta che nel 1918 il grande matematico inglese G. H. Hardy fosse andato a trovare in ospedale S. Ramanujan e che, per rompere il ghiaccio, avesse detto di averlo raggiunto con il taxi 1729, numero che commentò essere insulso, cioè di scarso interesse.
Ramanujan, senza nemmeno pensarci, lo avrebbe smentito, facendogli notare tutta la bellezza di 1729 per una sua particolarità: è il più piccolo numero naturale che sia esprimibile come somma di 2 cubi positivi in esattamente 2 modi diversi. Infatti:
1729 = 13 + 123 = 93 + 103
I numeri che, come 1729, sono esprimibili come somma di 2 cubi positivi in esattamente 2 modi diversi sono chiamati numeri di Ramanujan.
I numeri che, come 1729, sono il minimo numero naturale che sia esprimibile come somma di 2 cubi positivi in esattamente n modi diversi: sono chiamati numeri taxicab e sono indicati con Ta(n), cioè:
Ta(1) = il minimo numero naturale che si può esprimere come somma di 2 cubi in 1 modo soltanto;
Ta(2) = il minimo numero naturale che si può esprimere come somma di 2 cubi in 2 modi distinti;
Ta(3) = il minimo numero naturale che si può esprimere come somma di 2 cubi in 2 modi distinti;
etc.
Sono rarissimi e difficili da identificare fra gli infiniti numeri naturali. A oggi si conoscono soltanto i seguenti:
(immagine tratta da Wikipedia)
... si è fatto tardi: è tempo di una nuova missione!
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