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E se passiamo dalla potenza seconda alla terza? Ci sono numeri naturali che sono potenze terze di numeri naturali?
A poter essere perfetti non sono solo i quadrati: alcuni naturali sono anche potenze terze di numeri naturali (cioè con base naturale ed esponente 3) e si dicono cubi perfetti.
Esempio: 8 non è potenza seconda di nessun numero naturale, ma è invece potenza terza di 2.
Ti starai forse domandando se ci sia una relazione fra quadrati e cubi perfetti... ottima domanda! Ricordi le successioni e le serie di cui ti ho parlato? Ecco: la serie dei cubi dei primi naturali può essere espressa da una unica formula algebrica...
Quadrati e cubi perfetti sono fra loro in una bellissima relazione, esclusiva per i numeri triangolari, enunciata dal seguente teorema, attribuito al filosofo e matematico greco Nicomaco di Gerasa (I-II secolo d.C.) :
TEOREMA DI NICOMACO: la somma delle potenze terze (cioè dei cubi) dei primi n numeri naturali (avendo escluso 0) è uguale alla potenza seconda (cioè al quadrato) dell'n-esimo numero triangolare:
Questa illustrazione ne è la dimostrazione grafica per equiscomposizione:
Puoi vederla più in dettaglio e comprenderla pienamente con opportune animazioni.
Sorprendente, eh? Un enunciato tanto semplice quanto... potente, è proprio il caso di dirlo! E questa sua dimostrazione sembra quasi un'opera d'arte... Stai cominciando ad affinare il tuo sesto senso matematico! Basterà per superare la prossima sfida?
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