LE PARTIZIONI

Esiste una branca della matematica che si chiama TEORIA DEI NUMERI: essa si interessa esclusivamente ai numeri interi ed è sfidante perché presenta dei problemi tanto semplici nell'enunciato quanto difficili da risolvere, alcuni dei quali restano ancora oggi aperti.

Uno di questi è il famoso problema delle partizioni, risolto appena pochi anni fa!

Una partizione di un numero naturale positivo n è un'espressione equivalente a n ottenuta dissociando n in suoi addendi positivi in tutti i modi possibili (a meno dell'ordine degli addendi che non ha importanza): è un'applicazione della proprietà associativa dell'addizione che ci garantisce che in un'espressione possiamo sempre sostituire un numero con una sua somma equivalente, così dissociato.

Ad esempio:

1 ammette una sola banale partizione: 1 = 1

3 ammette 2 partizioni non banali: 

3 = 1 + 1 + 1

3 = 1 + 2

4 ammette 4 partizioni non banali: 

4 = 1 + 1 + 1 + 1

4 = 1 + 2 + 1

4 = 2 + 2

4 = 1 + 3

Possiamo osservare, allora, che dissociare un numero naturale n in suoi addendi è analogo a ripartire un insieme in suoi sottoinsiemi, poiché:

•  ogni addendo deve essere diverso da 0 (così come i sottoinsiemi devono essere diversi dall'insieme vuoto);

• gli addendi sono considerati disgiunti (così come i sottoinsiemi) anche quando si ripetano;

• la somma degli addendi deve essere n (così come l'unione dei sottoinsiemi deve essere l'insieme).

La dissociazione di un numero naturale nei suoi addendi è detta partizione additiva o, più semplicemente partizione.

Lo storico problema delle partizioni è il seguente: è possibile stabilire per ogni numero naturale n quante siano le sue partizioni distinte possibili?

Certamente, dato n, si può cercare di calcolarlo, ma i calcoli diventano subito impegnativi: già solo il numero di partizione di n = 100 ha ben 9 cifre (per curiosità, guarda qui).

La domanda è: esiste allora una formula che possa essere applicata a qualsiasi numero naturale n e che permetta di determinarne il numero di partizioni distinte (a meno dell'ordine degli addendi), senza doverle produrre una a una?