LA PROBABILITÀ TOTALE PER EVENTI MULTIPLI

p(E) = p(E1) + p(E2) + p(E3) - p(E1 ⋂ E2) - p(E2 ⋂ E3) - p(E1 ⋂ E3) + p(E1 ⋂ E2 ⋂ E3)

Esempio: 

calcolare la probabilità che dal lancio di un dado esca un pari o un multiplo di 3 o un numero minore di 4.

Come abbiamo visto, trattandosi di un'azione unica, è consigliabile considerare tutte le 3 condizioni in 1 e trattarlo come probabilità semplice, chiedendosi per ognuno dei casi possibili se soddisfi almeno una delle 3 condizioni. Così facendo otteniamo immediatamente: p(E) = 5/6.

Se proprio vogliamo ostinarci a trattarlo come probabilità totale, allora occorre calcolare la probabilità composta delle coppie di eventi:

E1 = esce pari; 

E2 = esce multiplo di 3; 

E3 = esce minore di 4. 

Calcoliamo, senza semplificare poiché dovremo poi addizionare:

p(E1) = 3/6

p(E2) = 2/6

p(E3) = 3/6

Si può verificare che i 3 eventi sono fra loro a 2 a 2 indipendenti (cioè p(E1)= p(E1 /E2) = p(E1 /E3) e lo stesso vale per E2 e E3), quindi la probabilità composta a 2 a 2 è non condizionata:

p(E1 ⋂ E2) = p(E1) ·  p(E2) = 1/6

p(E2 ⋂ E3) = p(E2) ·  p(E3) = 1/6

p(E1 ⋂ E3) = p(E1) ·  p(E3) = 1/6

Invece, poiché i 3 eventi sono fra loro incompatibili se considerati tutti insieme, allora:

p(E1 ⋂ E2 ⋂ E3) = 0 

Allora la formula:

p(E) = p(E1 ∪  E2 ∪ E3) = 

          = p(E1) + p(E2) + p(E3) - p(E1 ⋂ E2) - p(E2 ⋂ E3) - p(E1 ⋂ E3) + p(E1 ⋂ E2 ⋂ E3) = 

          =  3/6   +   2/6   +   3/6  -         1/6        -          1/6       -          1/6       +                0                = 5/6

Esempio: 

calcolare la probabilità che dal lancio di un dado, di una moneta e di un secondo dado escano 6 da primo dado o TESTA dalla moneta o PARI dal secondo dado.

E1 = esce 6 dal lancio di un dado; 

E2 = esce TESTA dal lancio di una moneta; 

E3 = esce PARI dal lancio di un altro dado. 

Calcoliamo:

p(E1) = 1/6

p(E2) = 1/2

p(E3) = 3/6

I 3 eventi sono fra loro tutti indipendenti, quindi la probabilità composta è non condizionata anche per i 3 eventi considerati tutti insieme:

p(E1 ⋂ E2) = p(E1) · p(E2) = (1/6)  ·  (1/2) = 1/12

p(E2 ⋂ E3) = p(E2) · p(E3) = (1/2)  ·  (3/6) = 3/12

p(E1 ⋂ E3) = p(E1) · p(E3) = (1/6)  ·  (3/6) = 3/36 = 1/12

p(E1 ⋂ E2 ⋂ E3) = p(E1) · p(E2) · p(E3)  = (1/6) · (1/2) · (3/6) = 3/72 = 1/24

Allora la formula:

p(E) = p(E1 ∪  E2 ∪ E3) = 

          = p(E1)  +   p(E2)  +   p(E3)   - p(E1 ⋂ E2) - p(E2 ⋂ E3) - p(E1 ⋂ E3) + p(E1 ⋂ E2 ⋂ E3) = 

          =  1/6    +   1/2     +   3/6       -         1/12     -       3/12      -        1/12      +             1/24           =

          =  4/24 + 12/24 + 12/24   -       2/24      -       6/24      -        2/24       +             1/24           =       19/24

NOTA BENE: anche in questo caso, si potrebbe ricondurre il quesito alla probabilità semplice, contando le terne favorevoli all'evento unione, ma non sarebbe immediato, essendo ben 72 le terne possibili. Meglio piuttosto calcolarlo come complementare della probabilità composta degli eventi complementari, cioè come complementare della probabilità che esca non 6 dal primo dado e CROCE dalla moneta e DISPARI dal secondo dado.

 p(E1 ∪  E2 ∪ E3) = 1 - p(nonE1 ⋂ nonE2 ⋂ nonE3) = 1 - (5/6) · (1/2) · (1/2 ) = 1 - 5/24 = 19/24