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Confrontiamo ora i poligoni: quali aspetti considerare per farlo?
Abbiamo visto che, dati 2 poligoni, in generale non è possibile stabilire chi sia "più grande", poiché la grandezza non è una caratteristica dei poligoni. Si possono, però, considerare separatamente i perimetri e le aree, in modo da confrontarli in base a essi.
1. CONFRONTO DEI PERIMETRI
MATHLAB Osserva la figura a lato, ottenuta usando la GeoBoard: come sono tra loro il rettangolo dal contorno viola e il poligono concavo arancione? Che cosa ne deduci?
Se il contorno geometrico di un poligono viene scomposto in "pezzi" (come il rettangolo viola del MathLab nei singoli segmenti) e poi ricomposto utilizzando tutti e soli i pezzi in cui era stato scomposto, si ottiene un nuovo poligono (come il poligono arancione del MathLab): i 2 poligoni sono fra loro isoperimetrici.
Riguarda il MathLab: vedi che a ogni segmento viola corrisponde uno arancione?
O sono sovrapposti o sono paralleli, ma sono esattamente gli stessi "pezzi" a comporre le 2 figure.
Si può, infatti, facilmente dimostrare più in generale che 2 spezzate equiscomponibili sono isoperimetriche, poiché somme di lunghezze a 2 a 2 uguali sono fra loro uguali.
Guarda ora un altro esempio di isoperimetria... ops, sto spoilerando!!! Si tratta di un MathLab ispirato a una proposta di Emma Castelnuovo (1913-2014):
MATHLAB Osserva l'ellisse a lato e procedi così:
1. osserva il triangolo formato dalla punta della matita e dalle 2 puntine e fanne lo screen-shot;
2. quindi ripeti quanto indicato al punto precedente;
3. ora confronta i 2 triangoli ottenuti, guardandone gli screen-shot: che cosa noti? Come variano i triangoli al variare della posizione della matita? Che cosa ne deduci?
Sì! I triangoli che l'ellisse descrive (o meglio: da cui è descritta) sono fra loro tutti isoperimetrici per costruzione: la corda non è elastica e mantiene la sua lunghezza.
2. CONFRONTO DELLE AREE
In geometria, 2 enti geometrici sono fra loro equivalenti se occupano la stessa quantità di spazio, di qualsiasi dimensione sia lo spazio a cui appartengono.
Quindi: 2 poligoni nel piano sono fra loro equivalenti se hanno la stessa area, mentre 2 solidi nello spazio tridimensionale sono fra loro equivalenti se hanno lo stesso volume.
Se un ente geometrico viene scomposto in "pezzi" (come in un puzzle o in una costruzione) e poi ricomposto utilizzando tutti e soli i pezzi in cui era stato scomposto, si ottiene un nuovo ente geometrico: i 2 enti sono fra loro equiscomponibili (scomponibili negli stessi pezzi).
Si può facilmente dimostrare che 2 enti equiscomponibili sono equivalenti, poiché somme di aree a 2 a 2 uguali sono fra loro uguali. Se le figure sono poligoni, allora vale anche l'implicazione opposta: 2 poligoni equivalenti sono anche equiscomponibili, come enunciato dal teorema di Boyaj-Gervin del 1832-1833. Proprio questa doppia implicazione fra equivalenza ed equiscomposizione dei poligoni rende quest'ultima una strategia di problem solving potentissima.
Ora: quale relazione c'è fra questi 2 "indicatori di grandezza" dei poligoni, perimetro e area? Ricordi cosa hai già scoperto sulla geometria della natura? Meglio sgombrare adesso il campo da alcune misconcezioni: sarai tu a smascherarle con il Tangram, l'antico gioco cinese, risalente ai tempi della dinastia Song (960-1279)!
MATHLAB Allenati a riconoscere, comporre e riscomporre figure piane fra loro equivalenti, utilizzando il Tangram. Precisamente:
1. disegna un quadrato sul tuo quadernone di lato lungo 8 quadretti e scomponilo nei suoi "tan", disegnandone i contorni;
2. calcola l'area di ogni "tan", utilizzando il metodo che preferisci (teorema di Pick incluso) e indicala all'interno del singolo poligono;
3. deduci quali siano le tessere fra loro equivalenti e colorale di uno stesso colore: hanno tutte la stessa forma? Hai appena prodotto un controesempio... di quale "falso mito"?
4. esprimi in frazione ridotta ai minimi termini il rapporto tra l'area di ogni tessera rispetto all'area del quadrato;
5. utilizzando una volta tutti e soli i 7 "tan", componi su questa lavagna digitale almeno 3 forme diverse e mostra esplicitamente che sono equivalenti fra loro, utilizzando la somma delle aree appena calcolate:
Se sei del 3° anno o più, allora la sfida continua:
MATHLAB Applica le tue competenze aritmetiche e geometriche acquisite finora:
6. chiama ogni "tan" per nome, indicando con precisione il tipo di poligono a cui la sua forma corrisponde;
7. per ogni "tan", esprimi in frazione il rapporto fra l'area del quadrato e il "tan";
8. per ogni "tan", deduci il perimetro: le figure che hai colorato dello stesso colore perché equivalenti hanno tutte lo stesso perimetro? Le figure che hanno lo stesso perimetro sono tutte dello stesso colore ? Hai appena prodotto un controesempio... di quali "falsi miti"?
9. rifletti e argomenta: se si cambia il disegno iniziale, considerando una lunghezza diversa per il lato del quadrato, cambiano le aree? E i perimetri? E i rapporti?
10. esprimi algebricamente area e perimetro di ogni tan in funzione del lato variabile a del quadrato.
Le aree e i perimetri dipendono dal numero di quadretti considerati per la lunghezza del lato del quadrato: al crescere del lato del quadrato, essi aumentano, al decrescere del lato del quadrato, essi diminuiscono.
I rapporti invece non variano: ogni tessera rappresenta esattamente una frazione unitaria dell'intero, cioè del quadrato. Infatti, tutti i tangram sono simili fra loro.
Molto bene! Siamo pronti allora per tentare di generalizzare:
Si nota, infine, che se 2 poligoni sono congruenti, allora sono isoperimetrici ed equivalenti.
Tocca con mano ciò che hai imparato! Un quesito* intrigante per te...
MATHLAB Disegna 2 rettangoli tali che il 1° abbia perimetro maggiore del 2° e il 2° abbia area maggiore del 1°.
* tratto da "Giochi matematici disegnati male" di Ben Orlin, Alpha Test, 2025.
CHIARO? Perimetro e area non viaggiano in parallelo! Addirittura ci sono figure che all'aumentare del perimetro vedono diminuire la propria area, come alcuni frattali (il triangolo di Sierpinski, ad esempio): il perimetro, di livello in livello, cresce perché si aggiungono le lunghezze dei bordi dei "buchi"!
Hai visto quante belle cose ha messo in luce un umile gioco come il Tangram? E non finisce qui: è anche un puzzle geometrico! Se vorrai, potrai giocarci... ma non ora: parti per una nuova missione!
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