FRAZIONI CONTINUE

Se n è un numero finito, la frazione continua si dice limitata e si può ridurre l'espressione che essa esprime.

Poiché la somma di frazioni è ancora una frazione, possiamo, quindi, dedurre che:

ogni frazione continua aritmetica limitata esprime un numero razionale.

Si può dimostrare (ma qui non lo faremo) che vale anche il viceversa:

ogni numero razionale può essere espresso da una frazione continua aritmetica limitata.

Essa non è unica (quindi ce n'è più di una); se ne può sempre determinare una con un algoritmo che è utilizzato anche per determinare il MCD fra 2 numeri: l'algoritmo di Euclide.

Nell'algoritmo di Euclide si esprime in numero misto la frazione iniziale, ottenendo la somma di un intero (che corrisponde al primo termine della n-upla) e di una seconda frazione che viene espressa come frazione unitaria con denominatore la sua reciproca. A quest'ultima si itera il procedimento.

Altrimento detto: 

• si divide il numeratore per il denominatore, ottenendo un 1° resto; 

• quindi si divide il  denominatore per il 1° resto, ottenendo un 2° resto;

• poi si divide il 1° resto per il 2° resto, ottenendo un 3° resto;

• quindi si itera il procedimento, facendo in modo che il resto di ciascuna divisione sia il divisore della successiva, fino a quando l'ultimo resto sarà 0.

Il MCD fra numeratore e denominatore è il penultimo resto, cioè l'ultimo diverso da 0.

Nel caso delle frazioni proprie, si considera la corrispondente frazione reciproca (che, in quanto tale, è impropria), sviluppandola nella sua frazione continua [a1, a2, ... , an], e poi se ne considera come sviluppo il seguente: [0, a1, a2, ... , an].

Rispetto alla notazione posizionale, le frazioni continue hanno il vantaggio di non dipendere dalla base del sistema di numerazione. 

Inoltre, sono utili per la risoluzione delle equazioni diofantee e nella crittografia: possono essere impiegate per violare il sistema di cifratura RSA.

Le frazioni continue forniscono le migliori approssimazioni razionali di un numero irrazionale. Infatti, troncando una frazione continua a un certo punto, si ottiene una frazione ridotta ai minimi termini che è la più vicina al numero reale tra tutte quelle che hanno un denominatore uguale o più piccolo.

Esempio:  

consideriamo π. Le frazioni continue generano approssimazioni storiche famose come 22/7 o l'estremamente precisa 355/113. Quest'ultima è incredibilmente accurata (meno di un milionesimo di errore) pur avendo un denominatore relativamente piccolo.

Inoltre, le frazioni continue in certi casi superano l'impossibilità di esprimere interamente un numero irrazionale per la mancata periodicità delle cifre decimali: infatti, alcuni di essi possono essere espressi da frazioni continue di cui si conoscano tutti i termini; ciò è analogo a quanto accade per la notazione posizionale per i decimali periodici, per questo tali frazioni continue sono dette periodiche.

Esempio:  

il numero aureo φ non è interamente esprimibile in notazione posizionale, mentre lo è in frazione continua, poiché tutti i suoi quozienti parziali sono tutti 1: