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Ormai ti è chiaro che la notazione posizionale e quella frazionaria sono 2 modi diversi ma equivalenti per esprimere un numero razionale. Ora: non sto nella pelle dal desiderio di presentarti una terza notazione che sempre ha a che fare con le frazioni, ma che ha un fascino tutto suo... ti va? Vedrai, ti sorprenderà!
Una frazione continua aritmetica è una sequenza ordinata di n numeri naturali a1, a2, ... , an, detti quozienti parziali della frazione continua. Si tratta, cioè, di una n-upla di numeri naturali, il cui significato è il seguente:
Esempio:
Si tratta di una frazione di frazioni unitarie, incapsulate l'una nella precedente, come una matrioska o un castello di frazioni!
Se n è un numero finito, la frazione continua si dice limitata e si può ridurre l'espressione che essa esprime.
Esempio:
Infatti:
Che cosa hai ottenuto, riducendo la frazione continua limitata? Una frazione, cioè un numero razionale. Proviamo a generalizzare...
Poiché la somma di frazioni è ancora una frazione, possiamo, quindi, dedurre che:
ogni frazione continua aritmetica limitata esprime un numero razionale.
Ti si accende una domanda? Sorge spontaneo chiedersi se valga il reciproco: ogni numero razionale può essere espresso da una frazione continua aritmetica limitata?
Si può dimostrare (ma qui non lo faremo) che vale anche il viceversa:
ogni numero razionale può essere espresso da una frazione continua aritmetica limitata.
Essa non è unica (quindi ce n'è più di una); se ne può sempre determinare una con un algoritmo che è utilizzato anche per determinare il MCD fra 2 numeri: l'algoritmo di Euclide.
Sissignore, sì, si tratta ancora di lui, di quell'Euclide che già conosci...
Nell'algoritmo di Euclide si esprime in numero misto la frazione iniziale, ottenendo la somma di un intero (che corrisponde al primo termine della n-upla) e di una seconda frazione che viene espressa come frazione unitaria con denominatore la sua reciproca. A quest'ultima si itera il procedimento.
Esempio:
da cui:
Altrimento detto:
si divide il numeratore per il denominatore, ottenendo un 1° resto;
quindi si divide il denominatore per il 1° resto, ottenendo un 2° resto;
poi si divide il 1° resto per il 2° resto, ottenendo un 3° resto;
quindi si itera il procedimento, facendo in modo che il resto di ciascuna divisione sia il divisore della successiva, fino a quando l'ultimo resto sarà 0.
Il MCD fra numeratore e denominatore è il penultimo resto, cioè l'ultimo diverso da 0.
Esempio:
E se la frazione fosse propria? Come si può svilupparla in frazione continua?
Nel caso delle frazioni proprie, si considera la corrispondente frazione reciproca (che, in quanto tale, è impropria), sviluppandola nella sua frazione continua [a1, a2, ... , an], e poi se ne considera come sviluppo il seguente: [0, a1, a2, ... , an].
Esempio:
Ora ti faccio io una domanda: se invece la frazione continua NON fosse limitata? A quali numeri corrisponderebbe? A numeri che hanno fatto fatica ad essere accolti, quando si pensava che oltre ai razionali non esistesse altro... è giunto, quindi, il tempo di presentarteli!
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