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Ormai ti è chiaro che la notazione posizionale e quella frazionaria sono 2 modi diversi ma equivalenti per esprimere un numero razionale. Ora: non sto nella pelle dal desiderio di presentarti una terza notazione che sempre ha a che fare con le frazioni, ma che ha un fascino tutto suo... ti va? Vedrai, ti sorprenderà!
Una frazione continua aritmetica è una sequenza ordinata di n numeri naturali a1, a2, ... , an, detti quozienti parziali della frazione continua. Si tratta, cioè, di una n-upla di numeri naturali, il cui significato è il seguente:
Esempio:
Si tratta di una frazione di frazioni unitarie, incapsulate l'una nella precedente, come una matrioska o un castello di frazioni!
Se n è un numero finito, la frazione continua si dice limitata e si può ridurre l'espressione che essa esprime.
Esempio:
Infatti:
Che cosa hai ottenuto, riducendo la frazione continua limitata? Una frazione, cioè un numero razionale. Proviamo a generalizzare...
Poiché la somma di frazioni è ancora una frazione, possiamo, quindi, dedurre che:
ogni frazione continua aritmetica limitata esprime un numero razionale.
Ti si accende una domanda? Sorge spontaneo chiedersi se valga il reciproco: ogni numero razionale può essere espresso da una frazione continua aritmetica limitata?
Si può dimostrare (ma qui non lo faremo) che vale anche il viceversa:
ogni numero razionale può essere espresso da una frazione continua aritmetica limitata.
Essa non è unica (quindi ce n'è più di una); se ne può sempre determinare una con un algoritmo che è utilizzato anche per determinare il MCD fra 2 numeri: l'algoritmo di Euclide.
Sissignore, sì, si tratta ancora di lui, di quell'Euclide che già conosci e del suo algoritmo che hai già visto...
Nell'algoritmo di Euclide si esprime in numero misto la frazione iniziale, ottenendo la somma di un intero (che corrisponde al primo termine della n-upla) e di una seconda frazione che viene espressa come frazione unitaria con denominatore la sua reciproca. A quest'ultima si itera il procedimento.
Esempio:
da cui:
Altrimento detto:
si divide il numeratore per il denominatore, ottenendo un 1° resto;
quindi si divide il denominatore per il 1° resto, ottenendo un 2° resto;
poi si divide il 1° resto per il 2° resto, ottenendo un 3° resto;
quindi si itera il procedimento, facendo in modo che il resto di ciascuna divisione sia il divisore della successiva, fino a quando l'ultimo resto sarà 0.
Il MCD fra numeratore e denominatore è il penultimo resto, cioè l'ultimo diverso da 0.
Esempio:
E se la frazione fosse propria? Come si può svilupparla in frazione continua?
Nel caso delle frazioni proprie, si considera la corrispondente frazione reciproca (che, in quanto tale, è impropria), sviluppandola nella sua frazione continua [a1, a2, ... , an], e poi se ne considera come sviluppo il seguente: [0, a1, a2, ... , an].
Esempio:
Ora ti faccio io una domanda: se invece la frazione continua NON fosse limitata? A quali numeri corrisponderebbe? A numeri che hanno fatto fatica ad essere accolti, quando si pensava che oltre ai razionali non esistesse altro... è giunto, quindi, il tempo di presentarteli!
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