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Che avrà mai di speciale una proporzione per essere detta addirittura "divina"?
Che meraviglia! Ma allora è nella matematica il segreto della bellezza! Ricapitoliamo?
Ciò che in natura e nell'arte ci sembra armonico e gradevole si scopre essere spesso espresso attraverso un determinato rapporto fra le sue parti: esso corrisponde al numero irrazionale φ contraddistinto da tale lettera dell'alfabeto greco (traslitterata phi, si legge "fi"), dal nome dello scultore e architetto greco Fidia del V secolo a. C., che ne fece un uso consapevole nelle sue opere (come il Partenone).
Il numero aureo φ è il rapporto che c'è fra le 2 dimensioni (lunghezza del lato lungo / lunghezza del lato corto) di un particolare rettangolo detto rettangolo aureo, cioè un rettangolo di cui è precisamente definita la costruzione, come qui indicato:
si costruisce un quadrato di lato 1;
si individua il punto medio M di un lato (che funge da base) e si traccia la perpendicolare a esso in M;
si traccia dal punto M un segmento che raggiunga un vertice esterno alla base (scegliamo quello di destra);
si punta il compasso in M, di apertura pari a quella del segmento appena tracciato e lo si ruota a destra, fino a intersecare il prolungamento della base in un punto P;
si completa il rettangolo.
Come indicato nel disegno, dato un rettangolo aureo di dimensione minore 1, la sua dimensione maggiore è proprio φ. Il valore di questo numero irrazionale è perciò:
La proporzione illustrata ci dice inoltre che, se si divide il rettangolo aureo di dimensione minore 1 con riga e compasso come in figura, anche il rettangolo che si ottiene (di dimensioni a e b) è ancora aureo! Infatti, le sue dimensioni stanno fra loro nello stesso rapporto φ cioè a : b = φ.
Allora si può ripetere il procedimento, cioè si procede sul nuovo rettangolo con riga e compasso nello stesso modo: si otterrà un nuovo rettangolo aureo. Il procedimento può essere iterato all'infinito!
Il teologo, astronomo, matematico e filosofo Johannes KEPLER (1571-1630), italianizzato KEPLERO, ha dimostrato che c'è una bellissima correlazione fra φ e la successione di Fibonacci. Infatti, se si considera la successione data dai rapporti fra un numero di Fibonacci e il suo precedente, si nota che essa si avvicina sempre più a φ, alternativamente per eccesso e per difetto, cioè tende a essa e che la rappresentazione geometrica di tale successione fa tendere i rettangoli che vi si susseguono a quello aureo:
2 : 1 = 2
3 : 2 = 1,5
5 : 3 = 1,666
8 : 5 = 1,6
13 : 8 = 1,625
21 : 13 = 1,615
...
Tracciando quarti di cerchio in successione lungo i quadrati disegnati, si traccia una spirale, detta spirale di Fibonacci: essa si avvicina sempre più alla spirale aurea il cui "cuore" è un rettangolo aureo:
spirale di Fibonacci
spirale aurea
Nella spirale aurea il raggio cresce di un fattore φ ogni volta che la spirale compie un quarto di giro, cioè il raggio n-esimo si ottiene dal precedente avendo moltiplicato quest'ultimo per φ: infatti, ogni raggio coincide con la dimensione maggiore nel rettangolo aureo precedente, dimensione che è uguale a φ per il raggio precedente, a causa del rapporto aureo.
Potrei dirti altro... ma questa è un'altra storia e si dovrà raccontare un'altra volta!
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