IL CRITERIO GENERALE DI DIVISIBILITÀ

CRITERIO GENERALE DI DIVISIBILITÀ: n è divisibile per m se e solo se la fattorizzazione di n contiene tutti i fattori primi di m, con esponente maggiore o uguale.

Esempio: 

1 750  =  2 ∙ 53 ∙ 7    è divisibile per    175 =  52 ∙ 7 

perché 175 è interamente contenuto in 1 750, poiché le potenze di fattori primi in cui 175 si scompone (52  e 7) sono anche divisori di 1 750 (53 > 52).

Rappresentandolo con i diagrammi di Eulero-Venn:

Il criterio generale di divisibilità può essere riformulato in questo modo: ogni divisore di un numero naturale n è il prodotto di fattori primi di n o di loro potenze fra loro disgiunte (cioè di primi diversi) che dividano n. 

Quindi, moltiplicando opportunamente i fattori primi o loro potenze che dividano il numero, si ottengono tutti e soli i divisori di un numero. Come? Basta considerare i singoli fattori primi che lo compongono e, per ciascuno, tutte le sue potenze che lo dividono; ogni primo, con tali potenze, forma un insieme. Per formare i divisori del numero occorre e basta scegliere un elemento per ogni insieme e moltiplicare fra loro gli elementi scelti.

Esempio:

2 574  =  2 ∙ 32 ∙ 11 ∙ 13

A =  D(2) = {1; 2} 

B = D(32) = {1; 3; 32} 

C = D(11) = {1; 11}

D = D(13) = {1; 13}

D(2574) = D(A) x D(B) x D(C) x D(D) = {(a ∙ b ∙ c ∙ d) | a ∈ A e b ∈ B e c ∈ C e d ∈ D}