Embedded Files
Ricordi Leonardo Pisano, detto Fibonacci? Ti racconto qualcosa in più...
La successione arcinota che porta il suo nome è un'autentica perla aritmetica e fa bella mostra di sé nel capitolo XII del suo "Liber Abaci"...
"Quidam posuit unum par cuniculorum in quodam loco, qui erat undique clausus muro, ut sciret, quot paria cuniculorum ex illo uno pario possent nasci in uno anno. Cumque de natura eorum sit, ut unum par in uno mense concipiat aliud par, et in secundo mense post conceptionem pariat; quot paria in uno anno ex hoc uno pario nascentur?"
Sì, è in latino! Forse tradotto in italiano ti sembrerà più chiaro...
"Un uomo mise una coppia di conigli in un luogo completamente circondato da un muro per scoprire quante coppie di conigli sarebbero state 1 prodotte in un anno. Si supponga che ogni mese ogni coppia fertile generi una nuova coppia, la quale diventa fertile a partire dal secondo mese dalla nascita. Quante coppie ci saranno alla fine di un anno?"
Complicato? Ma no, proviamo a indicare che cosa succede nei primi mesi:
Vuoi fissare il concetto? Facciamolo con un po' di humour che non guasta :)
ICONMAP
ICONMAP
Ora, il quesito dei conigli che hai appena letto può essere interpretato scrivendo in successione i numeri delle coppie di conigli che si ottengono di mese in mese: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, etc. Perché è interessante? Per la relazione che c'è fra i termini di questa successione, guarda...
Indichiamo con F(k) il k-esimo numero di Fibonacci, cioè il numero di coppie al k-esimo mese. Precisamente:
F(1) = 1
F(2) = 1
F(3) = 2 = 1 + 1
F(4) = 3 = 2 + 1 = F(3) + F(2)
F(5) = 5 = 3 + 2 = F(4) + F(3)
F(6) = 8 = 5 + 3 = F(5) + F(4)
F(7) = 13 = 8 + 5 = F(6) + F(5)
F(8) = 21 = 13 + 8 = F(7) + F(6)
F(9) = 34 = 21 + 13 = F(8) + F(7)
...
NOTA BENE: si può anche anteporre lo 0 alla successione e considerare F(0) = 0 come primo termine della successione, poiché resta vero che F(2) = F(1) + F(0): questa scelta, però, imporrebbe di considerare l' n-esimo termine della successione F(n-1), aumentando la complessità formale. Quindi qui non lo consideriamo.
Ora che sai come funzioni, prova a generalizzare: a cosa sarà equivalente F(n)?
Iterando il procedimento, si nota che, a partire dal 3° mese, il numero di coppie di conigli equivale alla somma delle coppie dei 2 mesi precedenti:
F(n) = F(n-1) + F(n-2)
Questo tipo di formula è detta ricorsiva, perché è definita in funzione dei termini precedenti.
La successione di Fibonacci è perciò così definita:
F(1) = F(2) = 1 e F(n) = F(n-1) + F(n-2)
Notevole: per ottenere il successivo numero della successione basta sommare gli ultimi 2 ottenuti! Certo, essendo una formula ricorsiva, non è proprio comoda per risolvere il quesito di partenza, quello dei conigli (anche se è proprio nella ricorsività la sua bellezza!): per determinare il valore dell'n-esimo numero di Fibonacci devi conoscere i valori dei numeri precedenti nella successione. Nella sua definizione, F(n) non è cioè espresso in funzione del numero n di termini considerati. Per questo scopo, si è invece elaborata una formula apposta:
Scoprirai più avanti la meraviglia di questo numero aureo a cui una successione derivata da questa si avvicina sempre più. Inoltre, la ricorsività della formula fa rima con l'autosimilarità di un frattale spettacolare: la spirale aurea... lo vedrai. Ora, qui, ti mostro la bellezza di alcune serie ricorsive di numeri di Fibonacci:
SERIE DEI NUMERI DI FIBONACCI: la somma dei primi n numeri di Fibonacci è equivalente al n+2-esimo numero di Fibonacci diminuito di 1:
Esempio, con n = 4: F(1) + F(2) + F(3) + F(4) = 1 + 1 + 2 + 3 = 7 = 8 - 1 = F(6) - 1
SERIE DEI NUMERI DI FIBONACCI DI POSTO DISPARI CONSECUTIVI: la somma dei primi n numeri di Fibonacci di posto dispari consecutivi è equivalente al 2n-esimo numero di Fibonacci.
con i dispari.
Esempio, con n = 4: F(1) + F(3) + F(5) + F(7) = 1 + 2 + 5 + 13 = 21 = F(8)
SERIE DEI NUMERI DI FIBONACCI DI POSTO PARI CONSECUTIVI: la somma dei primi n numeri di Fibonacci di posto pari consecutivi è equivalente al 2n+1-esimo numero di Fibonacci diminuito di 1.
con i pari.
Esempio, con n = 4: F(2) + F(4) + F(6) + F(8) = 1 + 3 + 8 + 21 = 33 = 34 - 1 = F(9) -1
Per dimostrarle, essendo ricorsive, bisogna utilizzare un metodo apposito, quello dell'induzione: se vuoi, curiosa pure qui, altrimenti prosegui!
Page updated
Google Sites
Report abuse