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Forse inizi a comprendere meglio che cosa comporti il fatto che i numeri naturali formino un insieme discreto: seppure restino enti astratti, si prestano tuttavia a essere "maneggiati" singolarmente, a essere messi in fila, l'uno dietro l'altro, come nelle successioni che ti ho mostrato, e a essere raggruppati o disposti in schieramenti. E proprio uno di questi ultimi è particolarmente interessante, soprattutto in ambito aritmetico e probabilistico, poiché vi si ritrovano rappresentate tantissime successioni...
Il triangolo di Tartaglia prende il nome dal matematico autodidatta Niccolò Fontana (1449-1557), detto Tartaglia per la sua balbuzie, che non ebbe il merito di formularlo per primo (se ne trova traccia già in frammenti in sanscrito del V secolo a.C.), bensì di averne messo in evidenza proprietà interessanti nel suo "General trattato di numeri et misure" del 1556. Francia e Gran Bretagna, invece, preferiscono chiamarlo triangolo di Pascal, in ragione del saggio monografico "Traité du triangle arithmétique" con cui il celebre matematico e filosofo Blaise Pascal (1623-1662) nel 1653 ne illustrò le caratteristiche.
W i campanili! Beh, però, il buon Tartaglia ne ha scritto prima di Pascal: quindi qui nel seguito lo chiameremo con il suo nome, sans vouloir vous blesser, M. Blaise...
Il triangolo di Tartaglia è uno schieramento additivo in forma triangolare dei numeri naturali, costruito secondo una sola semplice regola: ogni numero è la somma dei 2 numeri che lo sovrastano.
tratta da: Wikimedia Commons
Assomiglia alle piramidi additive che già conosci, ma è generato in ordine inverso, dall'alto verso il basso. Prova a costruirlo tu stesso!
MATHLAB Costruisci il triangolo di Tartaglia! Utilizza un foglio Excel nel modo seguente:
costruisci una scacchiera, cioè alternando celle "vuote" a celle "piene" su cui indicare i numeri naturali: seleziona le celle vuote a cui assegnerai lo sfondo grigio, esattamente come in figura;
sulla prima riga e nelle colonne A e AG, nelle celle "piene" scrivi 0, tranne nella cella centrale in cui scrivi 1;
nelle 2 righe sottostanti scrivi nelle celle "piene" la formula opportuna per generare il triangolo;
ti basterà copiare le righe 2 e 3 sulle successive per poter generare il tuo triangolo di Tartaglia!
5. Confronta, infine, ciò che hai ottenuto con questo generatore online o con la figura che segue.
Il triangolo di Tartaglia è infinito, poiché infinito è l'insieme dei numeri naturali. Qui sono rappresentate le prime 17 righe, cioè le sequenze di celle adiacenti lungo i lati verticali. Chiameremo diagonali le sequenze di celle adiacenti lungo un lato obliquo e quasi-diagonali le sequenze di celle sfalsate di una cella: le enumeriamo a partire da 0, dall'alto.
Hai visto? Così semplice da generare all'infinito! E ormai che sai quanto nella semplicità si nasconda la bellezza potente della matematica, è giunto il momento di svelarti certe sue proprietà. Cosa noti immediatamente?
PROPRIETÀ 0. Il triangolo di Tartaglia ha una evidente simmetria assiale.
Vero, ma c'è ben di più di questo, ora facciamo sul serio: scopriamo quali successioni questo triangolo ospita. E così come l'infinità dei numeri naturali non impedisce di determinarne con precisione l'elemento n-esimo, così l'infinità delle righe del triangolo di Tartaglia non impedisce di determinare l'elemento n-esimo delle successioni che in esso si ritrovano...
PROPRIETÀ 1. La diagonale 0 è una successione composta da soli 1; la prima diagonale rappresenta la successione dei numeri naturali (con 0 esterno al triangolo che contribuisce a formarlo); la seconda diagonale, dall'alto, rappresenta la successione dei numeri triangolari:
PROPRIETÀ 2. Le somme dei numeri di ogni quasi-diagonale formano nell'ordine la successione di Fibonacci:
PROPRIETÀ 3. I numeri pari e i numeri dispari si dispongono via via secondo uno schema che tende alla successione dei livelli che forma il frattale noto come triangolo di Sierpinski:
tratta da: Wikimedia Commons, by Ruben Maguregui
PROPRIETÀ 4. Le somme dei numeri di ogni riga formano nell'ordine la successione delle potenze di 2:
PROPRIETÀ 5. I numeri del triangolo di Tartaglia corrispondono ai coefficienti binomiali (definiti come il numero h di permutazioni possibili in un insieme di k elementi) che si mostrano distribuirsi in modo che il loro primo termine h coincida con il numero della riga e il secondo k con la posizione nella riga:
La successione per righe forma la successione dei coefficienti binomiali.
Inoltre, i coefficienti binomiali della riga n-esima esprimono nell'ordine esattamente i coefficienti dello sviluppo della potenza n-esima del binomio non nullo a + b, a questo devono infatti il loro nome:
tratta da: Mauitaui
Poiché per n = 0 il binomio è 1, la successione delle righe forma esattamente la successione delle potenze del binomio non nullo a + b.
Questo sì che è un bel vantaggio: puoi scrivere lo sviluppo di una potenza n-esima di un binomio senza doverla calcolare algebricamente! Infatti, per determinarne i coefficienti, ti basterà ricostruire aritmeticamente il triangolo di Tartaglia (o utilizzarlo già bello pronto) fino alla n-esima riga e considerare quest'ultima, cioè la riga di numero uguale all'esponente del binomio: un gioco da ragazzi!
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