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Finalmente ti presento il principe dei poligoni, amato in architettura come in altri contesti per le sue caratteristiche tanto semplici quanto straordinarie...
Naturalmente non tutti i triangoli hanno la stessa forma, non sono cioè simili. Vieni, ti mostro ora come possiamo classificarli secondo 2 diversi criteri:
Quindi: in ogni triangolo 2 angoli sono certamente acuti mentre il 3° può essere acuto o retto o ottuso: è lui a caratterizzare il triangolo! Chiaro?
PROPRIETÀ: un triangolo può sempre essere sia circoscritto a una circonferenza (cioè avere i 3 lati tangenti a una e una sola circonferenza) sia inscritto in una circonferenza (cioè avere i 3 vertici su una e una sola circonferenza).
Questo spiega perché il triangolo abbia alcuni elementi di un'importanza particolare.
Non dare nulla per scontato! In altri poligoni non capita che assi, bisettrici, altezze e mediane si intersechino rispettivamente in uno stesso punto!
Guardiamo ora alla congruenza dei triangoli:
Come per tutti gli enti geometrici, anche per i triangoli vale la definizione generale di congruenza:
2 triangoli sono congruenti se hanno esattamente la stessa forma e le stesse dimensioni, cioè se sono sovrapponibili (a meno di isometrie).
Possiamo, però, essere più precisi. A tale scopo, definiamo omologhi (o corrispondenti) gli elementi che "giocano lo stesso ruolo" rispettivamente nel proprio triangolo:
Diremo congruenti 2 triangoli che abbiano rispettivamente congruenti le 3 coppie di lati omologhi e le 3 coppie di angoli omologhi.
Identificare lati o angoli omologhi è utile per confrontare i triangoli e dedurne la congruenza.
Per i triangoli è possibile adottare una "scorciatoia" per dedurre la congruenza...
Ci sembra forse ovvio il fatto che, se 2 triangoli hanno tutti i lati omologhi congruenti e tutti gli angoli omologhi congruenti, allora siano congruenti, cioè che i 6 confronti (3 lati omologhi + 3 angoli omologhi) garantiscano la congruenza dei triangoli. Ma ovvio non è affatto! Così come non lo sono i criteri.
Il 1° criterio non si dimostra: è un assioma. Gli altri, invece, si dimostrano a partire dal 1°.
Concentrati su un ulteriore aspetto: come calcolare l'area di un triangolo?
MATHLAB Osserva la figura:
come puoi calcolare l'area del triangolo giallo BCD?
se ti riesce diffcile, prova a spiegarne il motivo;
guarda la soluzione qui nascosta: che cosa ti insegna?
Forse stai cercando di determinare la lunghezza dell'altezza condotta dal punto D sul lato opposto BC? Questa strada non ti porta alla soluzione, perché non puoi dedurla dai dati presenti.
Considera piuttosto come base del triangolo BCD il lato BD: AC è l'altezza relativa alla base BD e puoi, quindi, calcolare l'area gialla.
Questo ti ricorda che:
è sempre bene osservare le figure rappresentate non come se fossero statiche, ma traslabili e ruotabili o comunque osservabili da vari punti di vista;
le altezze possono anche essere esterne alla figura.
Vuoi una prova della formula dell'area del triangolo? Sì, è una formula, non proprio magica, di cui sto per darti 2 dimostrazioni grafiche: scoprile con questo MathLab, pensato apposta per te! Armati di pazienza... oltre che di carta e forbici!
MATHLAB Segui le istruzioni per toccare con mano la formula dell'area del triangolo:
Bello, vero? Ora cerca di fissare bene i passi della dimostrazione, con l'aiuto di questa animazione:
E se il triangolo è rettangolo, allora emerge un'altra relazione interessante:
Quante scoperte! Tante... meglio verificare se hai fatto tuo ciò che hai scoperto!
Hai superato il test? Complimenti! In futuro potrai incontrare triangoli molto particolari, come per esempio quello di Sierpinskij... ma per ora preparati per la tua prossima sfida!
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