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La tua curiosità ti spinge lontano? Allora questa pagina fa per te!
In aritmetica, si considerano successioni di numeri naturali, cioè sequenze ordinate di numeri, determinate dai primi termini scelti e poi da una regola per i successivi.
Esempio:
considera la successione dei seguenti numeri naturali: 1, 2, 3, ...
Il 1° termine della successione, che chiamiamo a1 è 1, quindi: a1 = 1
Il 2° termine della successione? 2, quindi: a2 = 2
Il 3° termine della successione? 3, quindi: a3 = 3
Come determinare il 4° termine della successione, avendo osservato i primi 3? 4, quindi: a4 = 4
Generalizzando: come determinare il termine n-esimo della successione? n, quindi: an = n. Questa è la regola della successione.
Hai colto dove stia la bellezza implicita delle successioni? Non basta mettere numeri naturali uno dietro l'altro a caso perché si abbia una successione: sono successioni soltanto le sequenze che sottendano una regola! In essa è il loro segreto di bellezza, capace di domare persino la "scomodità" dell'infinità di ℕ, poiché per determinare con precisione l'elemento n-esimo di una successione non occorre ripercorrere, passo a passo, la sequenza: la regola occorre e basta per esprimerlo direttamente.
Data una successione, la successione delle somme parziali dei termini a1, a2, ... , an che la compongono si dice serie: essa varia al variare di n, cioè del numero di termini della successione considerati. Quindi, diventa interessante scoprire se il valore variabile della serie al variare di n possa essere espresso da una unica formula algebrica, espressa in funzione di n, secondo la seguente notazione simbolica:
Esempio:
consideriamo la successione dell'esempio precedente:
1, 2, 3, ... espressa dalla seguente regola: il termine n-esimo della successione è n.
Per ogni n, sommiamo i primi n termini della successione da 1 a n:
n = 1: S1 = a1, la serie coincide con il primo termine a1 della successione, cioè 1;
n = 2: S2 = a1 + a2, la serie coincide con la somma dei primi 2 termini della successione. Otteniamo: 1 + 2 = 3;
n = 3: S3 = a1 + a2+ a3 = 1 + 2 + 3 = 6. La serie coincide con la somma dei primi 3 termini della successione;
n = 4: S4 = a1 + a2 + a3 + a4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
Generalizzando: come esprimere il termine Sn della successione degli Si? Qual è, cioè, la regola in funzione di n di questa particolare successione di somme parziali?
Detto più direttamente e precisamente: qual è il valore S a cui la serie converge?
NOTA BENE: 1, 3, 6, 10... è la successione dei numeri triangolari.
Prova a esprimere la somma dei primi n termini con una "formula": si narra che il buon Carl Friedrich Gauss ci fosse riuscito quando aveva all'incirca la tua età...
Gauss ha così dimostrato che:
SERIE DEI NUMERI NATURALI CONSECUTIVI: la somma dei primi n numeri naturali > 0 è equivalente alla semisomma fra n e il suo successivo n +1:
Ciò significa che i numeri triangolari si possono esprimere attraverso la formula di Gauss.
Precisamente, si nota che l'n-esimo numero triangolare è:
Ciò può essere dimostrato graficamente, accostando opportunamente al numero figurato lo stesso ruotato di 180°, in modo da ottenere uno schieramento di n righe da n+1 elementi ciascuna (di fatto è la visualizzazione grafica della dimostrazione di Gauss):
Inoltre c'è una bellissima relazione fra numeri triangolari e numeri quadrati...
PROPRIETÀ: la somma di 2 numeri triangolari consecutivi è un numero quadrato.
Lo si può dimostrare sia graficamente sia algebricamente.
Davvero geniale questo espediente attribuito al piccolo Gauss, non trovi? Meglio di un colpo di bacchetta magica! Potresti non essere da meno: riesci a esprimere la somma dei primi n termini dispari? Ricorda anche quanto detto dal nostro amico...
Confrontati poi con queste meravigliose animazioni di CampMate:
Prova a esprimere ora la somma dei primi n termini pari e poi guarda qui:
Le animazioni geometriche appena illustrate visualizzano e dimostrano le seguenti 2 serie:
SERIE DEI NUMERI DISPARI CONSECUTIVI: la somma dei primi n numeri dispari è equivalente al quadrato di n, cioè n2:
SERIE DEI NUMERI PARI CONSECUTIVI: la somma dei primi n numeri pari > 0 è equivalente al prodotto di n e del suo successivo, cioè n(n+1):
Se vuoi approfondire la tua conoscenza su successioni di pari e dispari, per te una storica e sfidante congettura che ancora oggi resiste... altrimenti prosegui.
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