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Iniziamo dalle 4 proprietà fondamentali...
Hai notato quanto siano importanti le parentesi? Sono a tutti gli effetti degli operatori: la loro presenza può modificare il valore di un'espressione!
Poiché l'uguaglianza è simmetrica, leggendola da sinistra o da destra si deduce che alcune proprietà svolgono azioni antagoniste fra loro: l'associativa permette sia di associare a piacere sia di dissociare a piacere, mentre la distributiva permette sia di distribuire sia di raccogliere.
A godere di una proprietà non è solo l'operazione, ma anche tu! Perché se una proprietà è valida per un'operazione in un certo insieme, allora tu hai la libertà di scegliere come muoverti nel procedere! L'operazione è associativa? Allora scegli tu quale eseguire per prima! L'operazione è commutativa? Allora scegli l'ordine che più ti conviene... Insomma: segui la via che preferisci... ma se, invece, un'operazione non gode di una certa proprietà, la via diventa obbligata!
Esempio: 37 - 17 + 3 ≠ 37 - (17 + 3)
cioè non si possono associare 17 e 3, poiché sottrarre la somma di 17 e 3 significa sottrarre sia 17 sia 3. Il 3 verrebbe così sottratto anziché addizionato. Quindi la sola via è procedere nell'ordine delle operazioni.
Hai registrato l'informazione? WARNING: VIETATO APRIRE UNA PARENTESI DOPO IL MENO, se non è indicata nel passaggio precedente!
NOTA BENE: essere associativa è il minimo che si richieda a un'operazione perché sia di qualche interesse. Se ciò non accade, ciò che vale normalmente per le altre proprietà può non essere garantito...
Ora concentrati sulla proprietà distributiva: esercitati a visualizzarla!
MATHLAB Il prodotto aritmetico di 2 numeri A e B può sempre essere interpretato come area di un rettangolo che ha per lunghezza delle sue dimensioni i 2 numeri A e B. Visualizza il significato geometrico della proprietà distributiva, con questo laboratorio, offerto da Phet Colorado:
E non finisce qui: ci sono altre proprietà che un insieme dotato di un'operazione può avere o meno e che lo rendono più o meno interessante...
Ogni operazione può godere di alcune proprietà che possono valere a seconda dell'insieme in cui si sta operando.
La sottrazione e la divisione non hanno l'elemento neutro, perché non sono commutative. Alcune operazioni, inoltre, non sono interne all'insieme considerato, neppure volendo...
Quindi, ricorda: devi sempre indicare l'insieme in cui operi! E noi presto scopriremo un insieme molto particolare, quello da cui tutta la matematica ha avuto inizio:
... prima, però, puoi approfondire: una golosa curiosità ti aspetta! Se, invece, scalpiti, prosegui ed esercitati con il calcolo elementare!
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