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Ormai sai che i numeri razionali si possono rappresentare in 2 modi: in notazione posizionale e in notazione frazionaria, vero? Bene, ora cercherò di mostrarti come passare dall'una all'altra.
Ogni numero razionale scritto in notazione posizionale corrisponde a una e una sola frazione ridotta ai minimi termini che è detta frazione generatrice poiché è la divisione che genera il numero razionale, cioè è la frazione ridotta di cui il numero è il quoziente.
La rappresentazione di tutti i numeri come notazione posizionale - e quindi anche quella dei numeri razionali - dipende dal sistema di numerazione adottato. Qui ci riferiamo al sistema in uso, cioè quello decimale.
Quindi, tutto ciò che diremo sulla "anatomia" dei numeri razionali è valido nel sistema di numerazione che utilizziamo: quello decimale. Non dimenticarlo!
TUTORMATH
I numeri razionali si ripartiscono in interi e decimali:
gli interi hanno cifre decimali sottintese tutte uguali a 0 (es.: 5 = 5,0000000...);
i numeri decimali hanno nella parte decimale almeno una cifra diversa da 0, cioè che hanno una parte decimale significativa.
Ricordi bene la notazione decimale? Bene: ora estendiamo la notazione che già conosci per la parte intera anche alla parte decimale...
Come già detto in precedenza, poiché la notazione posizionale è additiva, ogni numero decimale esprime la somma delle potenze di 10 (una per ogni ordine) moltiplicate rispettivamente per il loro coefficiente.
Analogamente, la parte decimale è la somma di decimi, centesimi, millesimi, etc.
La parte decimale di un numero altro non è che la somma di frazioni decimali! Scoprirai che sono anch'esse potenze di 10... ma ogni cosa a suo tempo! Ora facciamo un po' di ordine fra i decimali...
I decimali possono essere:
limitati: decimali le cui cifre decimali significative sono in numero finito;
Esempio:
7,84 ha 8 e 4 come cifre decimali, cioè 2 cifre decimali, seguite da soli 0 che non sono significativi.
Le sue cifre decimali significative non sono perciò infinite, perché sono 2, quindi in numero finito.
illimitati periodici: decimali le cui cifre decimali significative sono infinite e da un certo punto in poi si ripetono all’infinito. Il periodo è la sequenza minima di cifre che si ripete; l'antiperiodo è la sequenza di cifre eventualmente comprese fra la virgola e il periodo.
ha parte decimale 834444... in cui 4 si ripete all'infinito. 83 è l'antiperiodo, 4 il periodo.
I numeri decimali illimitati periodici possono essere semplici o misti, a seconda che l'antiperiodo sia assente o presente.
Sembrerebbe una partizione... ma lo sarà davvero? Lo scoprirai, nel frattempo esercitati a classificare i numeri razionali!
PLAYMATH Afferra, trascina e sposta ogni numero razionale nella sua classe!
Come vedi, è proprio così: i numeri razionali si possono esprimere con precisione, in modo da descriverne tutte le cifre! Soltanto i numeri illimitati non periodici sfuggono perciò a questo insieme: essi sono tutti e soli i numeri irrazionali!
NOTA BENE: come detto, la scrittura posizionale dipende dal sistema di numerazione. Quindi i numeri periodici che consideriamo sono periodici nel sistema decimale, ma non è detto che lo siano in altri.
Ora: per un attimo dimentica il Quidditch e immagina che le 2 notazioni si sfidino, come avversarie, a pallavolo, cercando di far passare la palla oltre la rete.
Scopri con me in dettaglio questa mappa!
Ecco, è il momento di mostrarti un altro volto dei numeri interi, come promesso...
Una curiosità: i periodici semplici con periodo 9 e l’intero che sembra approssimarli alle unità… sono in realtà proprio equivalenti:
Si potrebbe pensare che al periodico manchi sempre una minima parte per arrivare a essere 1. E invece no! Come si spiega?
Il periodico è un decimale illimitato, perciò, nella descrizione del preciso valore a cui corrisponde, comprende l’infinito e nell’infinito… non tutto è come sembra! Al periodico non manca nulla per essere 1.
E lo si può dimostrare, anche attraverso la frazione generatrice.
Infine, lo si può dimostrare con la serie geometrica... ma dovrai affrontare prima tante altre sfide.
Attraverso la frazione generatrice, si può dimostrare anche che ogni intero può essere scritto come periodico con parte intera uguale al numero e periodo 0.
Questo significa che i numeri interi ammettono più di una notazione posizionale; in particolare, possono essere anche pensati anche come decimali illimitati periodici, in 2 modi:
periodico con parte intera diminuita di 1 unità e periodo 9;
periodico con parte intera uguale al numero e periodo 0.
Addirittura 3 modi diversi per scrivere gli interi??? Ma allora in quale classe li mettiamo: interi o decimali illimitati periodici semplici?
In entrambi! Quindi:
la suddivisione dei razionali nei sottoinsiemi interi, decimali limitati e decimali illimitati periodici non è una partizione.
Diciamo che ora sai proprio tutto sui razionali! O quasi...
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