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Ormai sai che i numeri razionali si possono rappresentare in 2 modi: in notazione posizionale e in notazione frazionaria, vero? Bene, ora cercherò di mostrarti come passare dall'una all'altra.
Ogni numero razionale scritto in notazione posizionale corrisponde a una e una sola frazione ridotta ai minimi termini che è detta frazione generatrice poiché è la divisione che genera il numero razionale, cioè è la frazione ridotta di cui il numero è il quoziente.
La rappresentazione di tutti i numeri come notazione posizionale - e quindi anche quella dei numeri razionali - dipende dal sistema di numerazione adottato. Qui ci riferiamo al sistema in uso, cioè quello decimale.
Quindi, tutto ciò che diremo sulla "anatomia" dei numeri razionali è valido nel sistema di numerazione che utilizziamo: quello decimale. Non dimenticarlo!
TUTORMATH
I numeri razionali si ripartiscono in interi e decimali:
gli interi hanno cifre decimali sottintese tutte uguali a 0 (es.: 5 = 5,0000000...);
i numeri decimali hanno nella parte decimale almeno una cifra diversa da 0, cioè che hanno una parte decimale significativa.
Ricordi bene la notazione decimale? Bene: ora estendiamo la notazione che già conosci per la parte intera anche alla parte decimale...
Come già detto in precedenza, poiché la notazione posizionale è additiva, ogni numero decimale esprime la somma delle potenze di 10 (una per ogni ordine) moltiplicate rispettivamente per il loro coefficiente.
Analogamente, la parte decimale è la somma di decimi, centesimi, millesimi, etc.
La parte decimale di un numero altro non è che la somma di frazioni decimali! Scoprirai che sono anch'esse potenze di 10... ma ogni cosa a suo tempo!
I decimali possono essere:
limitati: decimali le cui cifre decimali significative sono in numero finito;
Esempio:
7,84 ha 8 e 4 come cifre decimali, cioè 2 cifre decimali, seguite da soli 0 che non sono significativi.
Le sue cifre decimali significative non sono perciò infinite, perché sono 2, quindi in numero finito.
illimitati periodici: decimali le cui cifre decimali significative sono infinite e da un certo punto in poi si ripetono all’infinito. Il periodo è la sequenza minima di cifre che si ripete; l'antiperiodo è la sequenza di cifre eventualmente comprese fra la virgola e il periodo.
ha parte decimale 834444... in cui 4 si ripete all'infinito. 83 è l'antiperiodo, 4 il periodo.
I numeri decimali illimitati periodici possono essere semplici o misti, a seconda che l'antiperiodo sia assente o presente.
Come vedi, è proprio così: i numeri razionali si possono esprimere con precisione, in modo da descriverne tutte le cifre! Soltanto i numeri illimitati non periodici sfuggono perciò a questo insieme: essi sono tutti e soli i numeri irrazionali!
NOTA BENE: come detto, la scrittura posizionale dipende dal sistema di numerazione. Quindi i numeri periodici che consideriamo sono periodici nel sistema decimale, ma non è detto che lo siano in altri.
Ora: per un attimo dimentica il Quidditch e immagina che le 2 notazioni si sfidino, come avversarie, a pallavolo, cercando di far passare la palla oltre la rete.
Scopri con me in dettaglio questa mappa!
Ecco, è il momento di mostrarti un altro volto dei numeri interi, come promesso...
Una curiosità: i periodici semplici con periodo 9 e l’intero che sembra approssimarli alle unità… sono in realtà proprio equivalenti:
Si potrebbe pensare che al periodico manchi sempre una minima parte per arrivare a essere 1. E invece no! Come si spiega?
Il periodico è un decimale illimitato, perciò, nella descrizione del preciso valore a cui corrisponde, comprende l’infinito e nell’infinito… non tutto è come sembra!
E lo si può dimostrare, attraverso la frazione generatrice (9/9 = 1).
Infine, lo si può dimostrare con la serie geometrica... ma dovrai affrontare prima tante altre sfide. Diciamo che ora sai proprio tutto sui razionali! O quasi...
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