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I numeri naturali maggiori di 1 non primi sono detti numeri composti, perché ammettono delle scomposizioni non banali, sono cioè composti da divisori propri.
0 e 1 non sono né primi né composti. Infatti:
0 è divisibile per ogni altro numero (ogni numero naturale maggiore di 0 è suo divisore proprio) e non è divisibile per se stesso, poiché la divisione per 0 non è definita: dunque non è primo. Inoltre, 0 non è composto, perché non esiste nessuna coppia di divisori propri, quindi entrambi diversi da 0, il cui prodotto sia 0 (legge di annullamento del prodotto): se è un prodotto è 0, allora almeno uno dei fattori è 0;
1 non è primo per definizione (ne vedremo il motivo) e non è composto perché non ammette divisori non banali.
Siamo pronti per scoprire quale sia il primato dei numeri primi, talmente importante da costituire in assoluto il teorema centrale, il più importante di tutta l'aritmetica?
TEOREMA FONDAMENTALE DELL'ARITMETICA: ogni numero naturale n > 1 o è primo o si scrive in modo unico (a meno dell'ordine dei fattori) come prodotto finito di soli numeri primi.
Ciò significa che occorrono e bastano i numeri primi per generare, attraverso la moltiplicazione, ogni numero naturale: essi, da soli, costruiscono l'intera l'aritmetica!
Altrimenti detto: ogni numero naturale maggiore di 1 o è primo o è composto, nel qual caso ammette una e una sola fattorizzazione in un numero finito di numeri primi.
La scomposizione in fattori primi permette di risalire al DNA di ogni numero naturale, al suo codice fiscale che lo identifica in maniera univoca.
Per esempio: 2 574 = 2 ∙ 32 ∙ 11 ∙ 13, quindi è un numero composto soltanto da 4 fattori primi (2, 3, 11 e 13), considerati ciascuno con il proprio esponente:
Ecco, allora, una nuova partizione per il nostro insieme dei numeri naturali:
Allora, per fattorizzare nei suoi numeri primi un qualsiasi numero naturale, oltre a utilizzare i grafi, si può procedere in modo più sistematico con l'algoritmo delle divisioni ripetute (dette anche iterate), applicando i criteri di divisibilità e dividendo, di volta in volta, per il numero primo per cui il quoziente risulta divisibile.
Per esempio:
2 574 è divisibile per 2, quindi si procede alla divisione 2 574 : 2 = 1 287
1 287 non è divisibile per 2, lo è per 3. Quindi si procede alla divisione 1 287 : 3 = 429
429 è divisibile per 3, quindi si procede alla divisione 429 : 3 = 143
143 non è divisibile per 3, 5, 7, ma lo è per 11. Si procede alla divisione 143 : 11 = 13
13 è un numero primo, quindi si procede alla divisione 13 : 13 = 1
Non è possibile fattorizzare ulteriormente. Quindi: 2 574 = 2 ∙ 32 ∙ 11 ∙ 13
Se preferisci, oltre che con i Math Cubes, puoi visualizzare i numeri con i "salvagenti"... i buchi con i fattori primi intorno! Da un'idea di Prime Climb Game:
MATHLAB: indichiamo ogni numero naturale > 1 come un cerchio intorno al quale si dispongono, come un salvagente, tutti i suoi fattori primi per colore.
Da che cosa puoi riconoscere a colpo d'occhio i numeri primi? Da che cosa, invece, le potenze?
(su Mathigon puoi vederli trasformarsi in prodotto, semplicemente sovrapponendoli)
Guardare i numeri attraverso i fattori che li compongono è un po' come guardare con i superpoteri, guardarli ai raggi X. Confronta i 2 algoritmi di fattorizzazione (divisioni ripetute e grafo ad albero corrispondente) con i salvagenti:
Hai notato che dividere per un numero primo significa toglierlo dal salvagente? Guarda questo esempio: spostiamo a destra della barra via via i fattori per cui dividiamo il numero di partenza. In ogni riga, otteniamo una fattorizzazione del numero iniziale; quella dell'ultima riga è la fattorizzazione in fattori primi.
I numeri primi generano tutti i composti, ma possono generare altri numeri primi?
numero primo 7 = 7 x 1
numero composto 21 = 7 x 3
Come il composto chimico di elementi non può generare un nuovo elemento, così non si può generare un numero primo moltiplicando numeri primi: i primi sono quelli che sono - infiniti, ma definiti - e basta!
I numeri primi possono generare soltanto numeri composti. Il prodotto di numeri primi non è, infatti, un numero primo, per definizione stessa di numero primo (il prodotto di numeri primi ha tali numeri primi come divisori propri). Dal punto di vista geometrico, questo è chiaro perché il prodotto dei 2 rettangoli corrispondenti a numeri primi p e q generano un rettangolo di dimensioni p x q, con p e q entrambi maggiori di 1 per la definizione di numero primo.
La fattorizzazione permette anche di smascherare facilmente i quadrati perfetti: riesci a intuirne il motivo?
PROPRIETÀ:
un numero naturale è un quadrato perfetto se e solo se gli esponenti dei suoi fattori primi sono tutti pari.
Infatti:
se n è un quadrato perfetto, è una potenza seconda di un numero naturale: allora, fattorizzando quest'ultimo e, applicando opportunamente le proprietà delle potenze (in particolare, il prodotto di potenze con uguale esponente), distribuendo cioè l'esponente 2 sui singoli fattori, si ottiene una fattorizzazione in cui ogni fattore primo ha esponente pari.
Esempio:
viceversa, se la fattorizzazione di un numero naturali ha tutti esponenti pari, si può raccogliere l'esponente 2, generando così un quadrato perfetto per definizione.
Esempio:
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