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Ricordi i concetti di area e perimetro? Li riprenderò più avanti, ma forse già sai che se 2 figure hanno lo stesso perimetro, non è detto che abbiano la stessa area. Allora ha senso chiedersi...
Quale forma piana ha area maggiore a parità di perimetro?
Trasposto nell'ambito della natura: nel delimitare spazi, quale forma è più conveniente, cioè delimita una regione più ampia (area maggiore) a parità di sforzo necessario per delimitarla (uguale perimetro)?
Prova a rifletterci e poi confronta la tua congettura con questo laboratorio:
MATHLAB Clicca sulle frecce per aumentare o diminuire il numero dei lati e osserva come varia l'area del poligono regolare, cioè equilatero (con lati tutti della stessa lunghezza) ed equiangolo (con angoli tutti della stessa ampiezza), senza che vari il perimetro (in questo laboratorio è costante):
Maggiore è il numero di lati di un poligono regolare, a parità di perimetro, maggiore è l'area contenuta.
In modo equivalente possiamo dire che:
maggiore è il numero di lati di un poligono regolare, a parità di area, minore è il perimetro
come Cristóbal Vila mostra nel film a fondo pagina:
L'hai riconosciuta? La prima equiscomposizione è quella di Dudeney!
Il cerchio contiene l'area maggiore a parità di perimetro.
Altrimenti detto:
il cerchio ha il perimetro minore a parità di area.
MATHLAB Prova ora a condurre un ragionamento analogo con i rettangoli:
quale rettangolo ha la maggiore area a parità di perimetro?
quale rettangolo ha il minor perimetro a parità di area?
Il cerchio è ciò a cui aspirano a essere i poligoni! Ora è chiaro perché! Ma anche il cerchio ha un punto debole...
Ma il cerchio non tassella il piano, cioè non lo ricopre senza lasciare spazi e senza sovrapposizioni.
Qual è, allora, il numero massimo di lati di un poligono regolare per tassellare il piano?
C'è un poligono ideale per tassellare il piano, cioè il poligono con il maggior numero di lati fra quelli che tassellano il piano... quale sarà?
Prova a giocare con le forme per scoprirlo:
Sono 3 e soltanto 3 i poligoni regolari che permettono di tassellare il piano infinito, cioè ricoprirlo tutto senza lasciare "buchi" e senza sovrapporle: triangolo, quadrato ed esagono:
Ne deduci quale sia, allora, la forma generalmente preferita dalla natura?
Sì, è proprio l'esagono: è lui il poligono capace di ricoprire il piano e di racchiudere la superficie maggiormente estesa a parità di lunghezza del contorno; è la forma più vantaggiosa. E guarda a quali meravigliose tassellazioni (in inglese: pattern) dà vita...
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