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Le equazioni sono le gemme dell'algebra, ma non solo: costituiscono ciascuna il codice fiscale (o, se preferisci, il DNA) di una curva rappresentabile in un riferimento cartesiano. Identificano, cioè, in modo univoco la curva a cui corrispondono!
Guarda questo esempio, realizzato con l'elaboratore grafico Desmos:
In fisica, inoltre, le equazioni descrivono fenomeni, come, in questo esempio fa la legge oraria del moto rettilineo uniforme:
Insomma: le equazioni sono di cruciale importanza sia come strumento per risolvere problemi, sia per chiamare per nome enti matematici, sia per descrivere eventi del mondo reale! Scopriamo, allora, che cosa siano esattamente...
Un'equazione è un'uguaglianza algebrica resa vera da alcuni valori dell'incognita, detti sue soluzioni. Si tratta, cioè, di un'equivalenza fra 2 espressioni (di cui almeno una letterale) che diventa un'uguaglianza aritmetica nel momento in cui si sostituiscano all'incognita valori assegnati: essa può risultare vera o falsa a seconda dei valori sostituiti. Se è vera, allora tali valori sono le sue soluzioni e i 2 membri algebrici per questo possono perciò essere ritenuti fra loro equivalenti.
Quindi, per riconoscere se un'espressione è un'equazione, guarda 2 cose:
1) se c'è l'uguale (deve essere un'uguaglianza);
2) se c'è almeno una lettera (deve essere algebrica).
Un'equazione può:
non avere soluzioni (e perciò si dirà impossibile)
averne una o più (e perciò si dirà determinata)
averle tutte, cioè essere resa vera da qualsiasi valore (e perciò si dirà indeterminata).
Risolvere un'equazione significa cercarne le soluzioni.
MATHLAB Allenati con il concetto di equivalenza algebrica grazie a questo laboratorio Phet:
Risolvere un'equazione è qualcosa di simile a ciò che fa un detective quando cerca di risolvere un caso: si riducono via via le possibilità, riformulando il problema in modo più semplice, fino a restringere il campo a una soluzione soltanto...
Per risolvere un'equazione si applica ripetutamente il principio di conservazione dell'uguaglianza: operando con le operazioni elementari nello stesso modo su entrambi i membri, si riduce via via l'equazione, trasformandola in un'altra più semplice, fino a ottenere l'irriducibile x = soluzione. Infatti, tutte le "equazioni successive" conservano l'uguaglianza perché ottenute secondo il principio (l'uguaglianza della prima implica l'uguaglianza della successiva); inoltre, se un valore è soluzione dell'equazione di partenza, lo sarà anche delle successive. Ogni equazione successiva è, perciò, equivalente a quella data: ammette cioè le stesse soluzioni.
Perciò il principio di conservazione dell'uguaglianza si scopre essere un principio di equivalenza fra equazioni che, per comodità puramente didattica, si sdoppia in 2 (1° principio di equivalenza per l'addizione e 2° principio di equivalenza per la moltiplicazione).
Terminata la risoluzione, occorre discuterla e stabilire se l'equazione sia determinata, impossibile o indeterminata; nel primo caso, si procede a verificare che la soluzione sia corretta, sostituendo la soluzione nel testo iniziale dell'equazione.
Risolvere un'equazione richiede alcune abilità: saper tradurre in equazione un problema, cercarne le soluzioni e sostituirle all'incognita per verificare che davvero lo siano. Allenati perciò a tradurre, risolvere e sostituire! E, nel frattempo, studia...
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