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Le equazioni sono le gemme dell'algebra, ma non solo: costituiscono ciascuna il codice fiscale (o, se preferisci, il DNA) di una curva rappresentabile in un riferimento cartesiano attraverso una funzione: identificano in modo univoco la curva a cui corrispondono! Guarda questo esempio, realizzato con l'elaboratore grafico Desmos:
In fisica, inoltre, le equazioni descrivono fenomeni, come, in questo esempio fa la legge oraria del moto rettilineo uniforme:
Insomma: le equazioni sono di cruciale importanza sia come strumento per risolvere problemi, sia per chiamare per nome enti matematici, sia per descrivere eventi del mondo reale! Prima di fartele scoprire, giusto un piccolo ripassino...
Un'uguaglianza può essere vera o falsa e può essere aritmetica se i suoi termini sono tutti numerici o algebrica se almeno un termine è letterale.
Bene, ora posso presentarti le equazioni:
Un'equazione è un'uguaglianza algebrica resa vera da alcuni valori delle incognite, detti sue soluzioni.
Si tratta, cioè, di un'equivalenza fra 2 espressioni (di cui almeno una letterale) che diventa un'uguaglianza aritmetica nel momento in cui si sostituiscano all'incognita valori assegnati: essa può risultare vera o falsa a seconda dei valori sostituiti. Se è vera, allora tali valori sono le sue soluzioni e i 2 membri algebrici per questo possono perciò essere ritenuti fra loro equivalenti.
Esempio:
x + 5 = -7
è un'equazione poiché è un'uguaglianza e almeno uno dei 2 suoi membri contiene un'incognita.
Il valore dell'incognita -12 è una sua soluzione, poiché se lo si sostituisce all'incognita nell'equazione:
-12 + 5 = -7
rende vera l'uguaglianza.
Quindi: x = -12 è la soluzione dell'equazione.
Invece qualsiasi altro valore diverso da -12 non è soluzione dell'equazione, poiché se lo si sostituisce all'incognita nell'equazione rende falsa l'uguaglianza.
Se l'equazione contiene una sola lettera, anche ripetuta in più termini, è detta in una sola incognita.
Esempio: 2x - 8 = 7x + 4 è in una sola incognita; x + y - z = 4 è in 3 incognite.
Quindi, per riconoscere se un'espressione è un'equazione, guarda 2 cose:
1) se c'è l'uguale (deve essere un'uguaglianza);
2) se c'è almeno una lettera che indichi una variabile (deve essere algebrica).
Un'equazione può:
non ammettere soluzioni, cioè avere 0 soluzioni (perciò si dirà impossibile);
ammettere come soluzioni 1 o più valori ma non tutti (e perciò si dirà determinata);
ammettere come soluzioni tutti i valori perché resa vera da qualsiasi valore (e perciò si dirà indeterminata o identità).
Esempio:
x2 = -3 è un'equazione impossibile, poiché il quadrato di qualsiasi numero reale è non negativo.
y = x è un'equazione determinata, poiché le soluzioni sono tutti e soli i punti del piano della 1a bisettrice.
x + 2 = x + 2 è un'equazione indeterminata, poiché l'uguaglianza è riflessiva e questo non dipende da x.
Indeterminata e impossibile sono i 2 estremi: TUTTO è soluzione nel caso dell'equazione indeterminata, NIENTE è soluzione nel caso dell'equazione impossibile.
Se è determinata, invece, CERTI valori sono soluzione mentre ALTRI no.
NOTA BENE: l'insieme di numeri (o di valori) in cui si intende operare è importante!
Per esempio, un'equazione che abbia come soluzione una frazione non apparente può essere ammessa come soluzione se si opera in ℝ o ℚ, ma non in ℕ o ℤ: in questi insiemi tale soluzione è considerata non accettabile e, se è l'unica, l'equazione si dirà impossibile anche se è stato possibile determinare la soluzione. Questo è il caso delle equazioni diofantee (così chiamate in onore del matematico che per primo se ne occupò) per le quali sono ammesse soltanto soluzioni intere.
Se l'insieme di numeri considerano come non è specificato, si sottintende che sia ℝ.
Tu hai già conosciuto da vicino un'equazione diofantea famosisssssssssima: ricordi? Pensa all'Ultimo teorema di Fermat...
Le equazioni saranno frequenti nella tua vita matematica, quindi un po' di lessico...
Risolvere un'equazione significa cercarne le soluzioni.
Ammettere soluzioni è sinonimo di avere soluzioni in un insieme di numeri o di valori.
Soddisfare l'equazione è sinonimo di essere soluzione dell'equazione.
Discutere l'equazione significa dedurre se l'equazione sia determinata, indeterminata o impossibile.
Se l'equazione è determinata, allora la si può verificare, cioè sostituire la soluzione alla x per verificare che renda vera l'equazione.
Inoltre 2 equazioni sono dette equivalenti se ammettono le stesse soluzioni.
MATHLAB Allenati con il concetto di equivalenza algebrica grazie a questo laboratorio Phet:
Risolvere un'equazione è qualcosa di simile a ciò che fa un detective quando cerca di risolvere un caso: si riducono via via le possibilità, riformulando il problema in modo più semplice, fino a restringere il campo a una pista risolutiva.
Pensalo come un procedimento in 2 tempi:
PRIMA
di risolvere un'equazione, si procede a ridurre i 2 membri in quanto espressioni letterali: a ogni passaggio si riscrive l'equazione, via via sviluppando i prodotti e i quozienti e riducendo le somme algebriche, fino ad ottenere i 2 membri ridotti.
E fin qui si tratta di applicare ciò che hai già imparato finora sul calcolo letterale, nulla di nuovo...
POI
si può iniziare a risolvere l'equazione: operando con le operazioni elementari nello stesso modo su entrambi i membri, si riduce via via l'equazione alla sua irriducibile x = soluzione, attraverso "equazioni successive" che conservano l'uguaglianza.
Inoltre, se un valore è soluzione dell'equazione di partenza, lo sarà anche delle successive: ogni equazione successiva è, perciò, equivalente a quella data, ammette cioè le stesse soluzioni.
Anche questo, però, non ha l'aria di essere una assoluta novità...
Il principio di conservazione dell'uguaglianza si scopre essere un principio di equivalenza fra equazioni che, per comodità puramente didattica, si sdoppia in 2 (1° principio di equivalenza per l'addizione e 2° principio di equivalenza per la moltiplicazione). I 2 principi permettono di isolare il termine incognito, avendo fatto "scomparire" da un membro ciò che si vuole "appaia" nell'altro.
L'effetto dei 2 principi è, infatti, questo:
1° PRINCIPIO --> trasporto degli addendi da un membro all'altro, in modo da ottenere tutti i termini con l'incognita da una parte (1° membro) e tutti quelli senza dall'altra (2° membro)
2° PRINCIPIO --> riduzione al coefficiente 1 del monomio con l'incognita.
Invisibilità bella e buona! Sembrano proprio 2 magie! Qual è il "trucco"... se c'è?
Il ricorso agli inversi (opposti e reciproci) è il "segreto" dei 2 principi: sia addizionare l'opposto sia moltiplicare per il reciproco permettono - proprio per come opposti e reciproci sono definiti - di trasformare nell'elemento neutro l'addendo o il fattore indesiderato là dove è, cioè di... neutralizzarlo!!! Rendendolo ininfluente per l'operazione al punto da poter essere omesso (+0 in una somma oppure ⋅1 in un prodotto) e così... "sparire" là dov'era per "apparire" trasformato in inverso dalla parte opposta!
Ecco il potere segreto degli inversi: NEUTRALIZZANO ciò che è di troppo per il termine incognito! Lo fanno sparire da una parte per vederlo spuntare, "invertito", dall'altra: già, perché come per le reazioni chimiche, anche nelle equazioni algebriche nulla si crea, nulla si distrugge, ma tutto si trasforma!
Torniamo ora al procedimento: la forma finale a cui si arriva dipende dal tipo di equazione. Qui ti presento le equazioni più semplici in assoluto: quelle di 1° grado.
Il grado di un'equazione è il grado massimo fra i gradi dei 2 membri.
Un'equazione di 1° grado è anche detta lineare, poiché definisce una retta nel piano.
Dopo aver ridotto al massimo i 2 membri di un'equazione di 1° grado, cioè averne ottenuto 2 espressioni irriducibili, si ottiene quella che è talvolta chiamata forma normale dell'equazione:
ax = b
con il coefficiente numerico a e il termine noto b valori costanti e x incognita.
Quando arrivi alla forma normale, FERMATI!!!
... è ora della discussione!
Quindi, occorre stabilire se l'equazione sia determinata, impossibile o indeterminata.
Questo dipende in prima battuta da a:
se a ≠ 0, l'equazione è determinata: si può applicare il 2° principio (diversamente non applicabile, poiché la divisione per 0 non è definita) e così determinare la soluzione. Inoltre si può verificare che essa sia corretta, sostituendola nel testo iniziale dell'equazione;
se a = 0, allora si è di fronte a un'equazione di cui non si può determinare le soluzioni perché o è indeterminata o è impossibile. Infatti, poiché 0 è l'elemento assorbente - rende cioè uguale a 0 ogni termine a cui sia moltiplicato - ciò che distingue i 2 casi è la costante b:
se è nulla, allora si ha 0x = 0: tutti i valori di x sono soluzione dell'equazione che è perciò indeterminata;
se non è nulla, allora si ha 0x ≠ 0: nessun valore di x è soluzione dell'equazione che è quindi impossibile.
Quindi: prima riduci, poi trasporta e riduci, quindi fermati alla forma normale e guarda il coefficiente dell'incognita per discutere l'equazione: se non è zero, completa la risoluzione; diversamente... avrai finito! Guarda qualche esempio:
TUTORMATH
Risolvere un'equazione richiede alcune abilità: saper tradurre in equazione un problema, cercarne le soluzioni e sostituirle all'incognita per verificare che davvero lo siano. Allenati perciò a tradurre, risolvere e sostituire! E, nel frattempo, studia...
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