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Vuoi vedere un esempio di strategia induttiva tutta soltanto logica? Allora cerca di capire come i nostri eroi siano riusciti a liberarsi dalle segrete di Tripotter...
PLAYMATH Risolvi il caso de "Il Marchio del Silenzio di Tripotter"
Nelle fredde e buie celle di un'ala dimenticata di Tripotter, 20 prigionieri giacciono, condannati a un silenzio innaturale. Un potente incantesimo, il "Marchio del Silenzio", è stato posto su di loro: rende muto chiunque lo porti sulla pelle e impedisce ogni forma di magia. Il Marchio del Silenzio è una piccola cicatrice indistinguibile che si attiva solo in alcuni luoghi (come questo), diventando visibile agli altri ma non a chi lo possiede.
8 di loro hanno il Marchio, 12 non ce l'hanno.
La regola per la liberazione è terribilmente semplice, eppure quasi impossibile da attuare: chiunque deduca logicamente di portare il Marchio del Silenzio, senza usare incantesimi o specchi, la notte successiva svanirà dalla prigione, per ritrovarsi nella sua stanza: sarà finalmente liberato dall'incantesimo!
I prigionieri sono lì da tempo immemorabile, incapaci di comunicare se non con lo sguardo. Ognuno di loro vede chiaramente i Marchi sui compagni di cella, ma nessuno può vedere il proprio: sa soltanto che o ce l'ha o non ce l'ha. Tra di loro, Harry Potter si guarda intorno, cercando di capire il mistero, mentre Hermione Granger studia ogni espressione degli altri, intenta nella ricerca di una soluzione logica. Ron Weasley si ostina disperatamente a cercare un modo per spezzare l'incantesimo.
Una notte, la porta di una delle celle si apre e il custode dell'ala e carceriere della prigione entra, rompendo il silenzio con una sola, risonante frase: "Sappiate che in queste segrete c'è almeno una persona che porta il Marchio del Silenzio!" Detto questo, si ritira, lasciando i prigionieri al loro destino.
Dopo quante notti tutti i 20 prigionieri svaniranno dalla prigione, finalmente liberi?
Intrigante, eh? La matematica può salvare la vita! Ma qual è la risposta?
Tieni conto del fatto che tutti gli ospiti di Tripotter sanno ragionare molto bene...
Il ragionamento induttivo (e collettivo) procede così, nella mente di ciascun prigioniero, facendo diverse ipotesi e partendo dal caso più semplice:
CASO 1 = c'è 1 sola persona con il Marchio (immaginiamo Harry, per esempio).
Harry pensa: "Il custode ha detto che c'è almeno un Marchio. Io non vedo nessun Marchio su nessun altro. L'unica conclusione è che l'unico con il Marchio sia io!" E quindi si libera durante la prima notte.
1 SOLO MARCHIO → IL PRIGIONIERO CON MARCHIO SVANISCE ALLA PRIMA NOTTE
Ogni altro prigionero aveva già visto il Marchio soltanto su Harry, ma non sa ancora se lo abbia anche lui: vedendo svanire Harry, capisce che Harry ha potuto dedurre di averlo, quindi deduce che Harry sia l'unico ad avere il Marchio e quindi... di non avere il Marchio! Perciò, si liberano tutti alla notte 1.
CASO 2 = ci sono esattamente 2 persone con il Marchio (immaginiamo Harry e Ron, per esempio).
Alla prima notte Harry non può svanire, perché non sa se ha o meno il Marchio, vede soltanto che almeno Ron ce l'ha. E lo stesso vale per Ron che vede il Marchio soltanto su Harry, ma non sa se lo abbia anche lui.
Il fatto che nessuno dei 2 sia svanito la prima notte porta entrambi alla stessa conclusione:
IL PRIGIONIERO CON MARCHIO NON SVANISCE ALLA PRIMA NOTTE → C'E' UN ALTRO MARCHIO
Infatti, Ron, vedendo che Harry non è svanito nella notte 1, alla notte 2 pensa: "Harry non ha potuto dedurre di averlo. Quindi c'è qualcun altro con il Marchio. Io non vedo il Marchio su nessun altro. L'unica conclusione è che l'altro con il Marchio sia io!" e svanisce! Analogamente fa Harry.
Ogni altro prigionero aveva già visto il Marchio soltanto su Harry e Ron, ma non sapeva ancora se lo avesse anche lui: vedendo svanire Harry e Ron, capisce che essi hanno potuto dedurre di averlo, quindi deduce che soltanto Harry e Ron hanno il Marchio e quindi... di non avere il Marchio! Perciò, si libererebbero tutti alla notte 2.
Hai capito la "solfa"? Iterando (cioè: ripetendo) il procedimento, puoi dedurre che i nostri eroi si libereranno tutti esattamente dopo 8 notti.
Ma possiamo fare di meglio? Avanti: generalizziamo!
se ci sono n persone con il Marchio, tutti i prigionieri si libereranno dopo n notti
o, altrimenti detto:
se dopo n notti nessun prigioniero si libera, allora ci sono più di n persone con il Marchio
Dimostrazione:
CASO 1: è VERO (cioè: tutti i prigionieri si liberano dopo 1 notte, vedi sopra)
Supponiamolo VERO per n-1:
CASO n-1 = ci sono n-1 persone con il Marchio: VERO per ipotesi induttiva (cioè: tutti i prigionieri si liberano dopo n-1 notti)
Dimostriamo che è VERO per n:
CASO n = ci sono n persone con il Marchio.
Ogni prigionero vede o n-1 o n persone con il Marchio (quindi i prigioneri sono n al massimo), ma non sa ancora se lo abbia anche lui. Siamo alla n-esima notte e fino a quella notte precedente, la n-1-esima, non è svanito nessuno. Questo, per l'ipotesi induttiva, significa che ci sono più di n-1 prigionieri con il Marchio: sono quindi esattamente n.
Ora:
ogni prigioniero che veda n-1 persone con il Marchio dedurrà di essere l'n-esimo ad averlo;
ogni prigioniero che ne veda n persone con il Marchio dedurrà di non averlo.
Perciò, si libererebbero tutti alla notte n.
c. v. d.
Potresti obiettare che ,visto che c'erano ben 8 prigionieri con il Marchio, tutti sapevano già ciò che il carceriere ha detto e che pertanto sia stata una dichiarazione inutile!... e invece no: è proprio questo che dà il via al processo!
3 sono gli elementi-chiave della soluzione:
la chiave è sulle labbra del custode: la dichiarazione che esista "almeno una persona" con il Marchio trasforma la conoscenza individuale in conoscenza comune per tutti i prigionieri che si trovano a considerarlo nello stesso istante e che sanno che tutti lo stanno considerando contemporaneamente;
invisibilità personale, visibilità pubblica: nessun prigioniero può vedere il proprio Marchio, ma tutti vedono i Marchi degli altri prigionieri;
eventi notturni: il fatto che nessuno si liberi in una data notte diventa un'informazione cruciale per tutti.
Questo è un classico rompicapo ed è un potente esempio di come la logica pura, combinata con la conoscenza comune, possa illuminare persino le condizioni più difficili.
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