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Con l'infinito non si scherza! Da sempre un po' temuto, divenne motivo di grande dibattito fra i matematici dell'inizio del '900. In una tipica classe di Tripotter, invece, la discussione prese questa piega...
Hai visto? Con l'infinito non serve contare: occorre e basta APPAIARE! Funziona!
Quindi: 2N ha la stessa cardinalità di N.
Ma questo ci scandalizza, è controintuitivo! Come può un insieme essere grande tanto quanto una sua parte propria?
Fatichiamo a crederci perché applichiamo il comune modo di pensare gli insiemi finiti agli insiemi infiniti: nell'infinito sono possibili relazioni che nel finito non lo sono.
Il primo matematico ad applicare il metodo delle corrispondenze biunivoche agli insiemi infiniti fu Julius Wilhelm Richard DEDEKIND (1831-1916) che nel 1872 definì ogni insieme infinito come "un insieme che può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio".
Con lo stesso metodo, cioè utilizzando le corrispondenze biunivoche, si può mostrare che anche ℚ ha la stessa cardinalità di ℕ. Si tratta, cioè, di trovare un modo per ordinare tutti e soli i numeri razionali, etichettandoli con i numeri naturali, cioè di enumerarli, uno dopo l'altro, senza ripetizioni né esclusioni.
Ecco come:
GEORG CANTOR (1845-1918)
Utilizzare le corrispondenze biunivoche è una genialata da... mateMago! In effetti, ci volle proprio il superpotere visionario di Georg Cantor, per intuire e dimostrare l'esistenza di insiemi infiniti di cardinalità diversa.
Pensa che provò persino a dimostrare l'inesistenza di infiniti intermedi fra i naturali e i reali... ci riuscì? Guarda qui! 😏
Riassumendo:
1. In generale esiste un modo diverso dal contare per stabilire se due insiemi siano grandi uguali (cioè abbiano la stessa cardinalità): è la corrispondenza biunivoca, la relazione stabilita da una funzione che, con la sua inversa, appaia gli elementi dei due insiemi. Infatti:
2 insiemi hanno uguale cardinalità se e solo se esiste una corrispondenza biunivoca fra i 2.
Ciò vale, in particolare, anche per gli insiemi finiti: se due insiemi A e B hanno entrambi cardinalità finita k, allora possiamo scegliere di ordinare ogni insieme numerando a piacere i suoi elementi e facendo corrispondere al primo elemento di A il primo di B, al secondo di A il secondo di B… e così via.
2. Gli insiemi che hanno la stessa cardinalità di ℕ si dicono numerabili, proprio perché i loro elementi sono corrispondenti ai numeri con cui si conta (naturali). Di fatto, contare è proprio enumerare a uno a uno (1, 2, 3, etc.) gli elementi che stiamo considerando: questo equivale esattamente a mettere in corrispondenza biunivoca gli elementi ai numeri naturali.
3. Gli insiemi infiniti numerabili sono grandi quanto ogni loro sottoinsieme! Una cosa mai vista per gli insiemi finiti, dalle conseguenze apparentemente paradossali che portarono a diffidare della possibilità di costruire una teoria coerente sulla cardinalità di tutti gli insiemi.
Al matematico Cantor dobbiamo le seguenti conclusioni:
ℕ, 2ℕ, 2ℕ+1, ℤ, ℚ sono tutti grandi uguali, hanno cioè la stessa cardinalità.
𝕀, ℝ e ℂ, non numerabili, invece sono "più grandi".
IN CONCLUSIONE: non tutti gli infiniti sono grandi uguali...
qualche infinito è “più infinito” degli altri! 😊
GALILEO GALILEI (1564-1642)
Curiosità? Galileo Galilei, che tu ben conosci per essere ritenuto il padre del metodo sperimentale, aveva già intuito lo stratagemma della corrispondenza biunivoca ben più di 2 secoli prima di Cantor, avendo messo in corrispondenza l'insieme dei quadrati perfetti con quello dei numeri naturali, ma, considerando paradossale che i 2 insiemi fossero grandi uguali, ne dedusse... che non avesse senso confrontare gli insiemi infiniti!
Vuoi approfondire? Guarda questi 2 video:
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