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Il Teorema di Pitagora è di una semplicità straordinaria che lo rende applicabile ovunque si nasconda un triangolo rettangolo. Vuoi un esempio?
(tratto da "Mauitaui e la matematica")
Puoi divertirti a cercare di esprimere le relazioni per così dire interne ai poligoni, applicando il Teorema di Pitagora. A me interessa farti considerare un quadrato e una sua diagonale: essa lo divide in 2 triangoli rettangoli, pertanto è possibile determinarne la lunghezza. Ecco come:
Questo non dovrebbe stupirti affatto: avevi già scoperto che la diagonale e il lato sono fra loro incommensurabili, poiché il loro rapporto è proprio la radice quadrata di 2, il numero irrazionale per eccellenza!
Quindi: se conosci la misura del lato di un quadrato, ti basterà moltiplicarla per √2 per ottenere quella della diagonale. Semplice, no?
E se passiamo dal piano allo spazio? Come si calcola la diagonale del cubo?
Basta moltiplicare lo spigolo del cubo (che è anche lato di ogni sua faccia quadrata) per la radice quadrata di 3.
Infatti, la diagonale del cubo è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha per cateti la diagonale d di una faccia e l'altezza del cubo (che coincide con lo spigolo l ):
Cosa noti?
All'aumentare della dimensione n dello spazio in cui si opera, aumenta di 1 il radicando.
Infatti, considerando per semplicità lo spigolo di lunghezza 1, otteniamo:
Torniamo ora ai casi particolari di applicazione del teorema: il triangolo rettangolo ISOSCELE e quello da 30° e 60° gradi... in breve: i triangoli delle tue squadrette!
Se immagini quel che non si vede, determinarne le lunghezze dei lati diventa un gioco da ragazzi...
Ogni triangolo rettangolo isoscele può essere pensato come metà di un quadrato. Perciò, se il cateto è noto, per dedurre la misura dell'ipotenusa basta considerarla come diagonale del quadrato che ha per lato il cateto e, per calcolarne la lunghezza, applicare la formula corrispondente, senza dover ogni volta risalire al teorema di Pitagora. Analogamente, se si conosce l'ipotenusa, per dedurre la lunghezza del cateto basta ricorrere alla formula equivalente (lato = diagonale / radice quadrata di 2).
Quindi: contrariamente al solito, in questo caso basta la misura di un solo lato per determinare gli altri 2.
Wow! Quindi non sempre occorrono 2 lati di un triangolo per determinarne il terzo! Ci sono indubbi vantaggi nell'essere la metà di un poligono regolare...
Ogni triangolo rettangolo con un angolo di 30° può essere pensato come metà di un triangolo equilatero. Perciò, data la lunghezza dell'ipotenusa, il cateto minore misurerà quanto la sua metà e quello maggiore può essere dedotto di conseguenza, applicando direttamente il teorema di Pitagora o utilizzando la formula propria dell'altezza del triangolo equilatero che da esso consegue:
Quindi: anche in questo caso, basta la misura di un solo lato per determinare la lunghezza degli altri 2.
Forte, vero??? E questa volta lascio a te dimostrare la formula appena data, perché ho di meglio per te: un riadattamento del celebre quesito delle 2 torri di Fibonacci con cui studentesse e studenti da 8 secoli a questa parte si confrontano!
A prima vista può sembrare che nel quesito manchi un dato (e no, non siamo nel caso delle tue squadrette!)... ma non è così: ci vuole giusto una piccola intuizione...
MATHLAB QUESITO STORICO DI FIBONACCI DELLE 2 TORRI
2 uccelli sono sulla sommità di 2 torri. Una di esse è alta 63 m, l’altra 56 m.
I 2 uccelli spiccano il volo nello stesso istante e discendono con pari velocità fino al centro di una fontana che si trova fra l’una e altra torre [attenzione: non necessariamente a uguale distanza dalle torri].
Sapendo che la fontana dista 16 m dalla torre più alta, quanto dista la fontana dalla torre più bassa?
SOLUZIONE
Poiché si suppone che le torri siano perpendicolari al suolo, la fontana separa la figura in 2 triangoli rettangoli.
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo di sinistra, si ottiene la lunghezza dell'ipotenusa che coincide con il segmento tratteggiato di sinistra: 65 m.
Poiché i 2 uccelli volano alla stessa velocità di moto rettilineo uniforme, essi percorrono lunghezze uguali in tempi uguali (per la legge oraria S = v · t).
Questo implica che i 2 segmenti tratteggiati sono congruenti: perciò anche l'ipotenusa del triangolo di destra misura 65 m.
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo di destra, si ottiene la distanza della fontana dalla torre più bassa: 33 m
.....................................
Nota bene: in questa formulazione sono state scelte appositamente misure riferite a 2 diverse terne pitagoriche (16; 63; 65) e (33; 56; 65) ed è interessante notare come 65 sia elemento comune a entrambe.
Ti mostro, infine, un'altra cosetta interessante: puoi applicare il teorema di Pitagora per calcolare la distanza fra 2 punti del piano cartesiano!
Ottimo! Il teorema di Pitagora è ormai parte di te! Ora puoi dedicarti a un altro concetto che già hai intravisto, ma che ora ti accompagno a declinare con maggiore precisione, applicato ai poligoni...
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