ENUNCIATI LOGICI

Come nella lingua italiana, anche la lingua matematica è fatta di proposizioni che vengono dette enunciati. Ogni enunciato ha un soggetto (ente matematico che compie o subisce l'azione); generalmente ha anche un predicato che ne descrive l'azione.

Sono esempi di predicati:

∈ (appartenere a)

⊇ (includere)

⊃ (includere strettamente)

⊆ (essere incluso in)

⊂ (essere incluso strettamente in)

= (essere uguale a)

≠ (essere diverso da)

≈ (essere simile a)

≅ (essere congruente a)

∥   (essere parallelo a)

⊥ (essere perpendicolare a)

> (essere strettamente maggiore di) 

≥ (essere maggiore o uguale a)

< (essere strettamente minore di) 

≤ (essere minore o uguale a) 

∃  (esistere)

∃! (esistere uno/a e uno/a solo/a, cioè esistere esattamente uno/a)

Sono predicati anche le negazioni dei predicati sopra elencati (non appartenere a, non includere, etc.) che si indicano barrando il simbolo corrispondente con  /  , come per esempio: ∉ (non appartenere a).

A differenza di quanto accade nella lingua italiana (e in qualsiasi altra), però, gli enunciati di quella matematica hanno una caratteristica: o sono veri o sono falsi ("forse", dipende" o "a volte" in matematica non esistono!).

Quindi:

1. ogni enunciato matematico è o vero o falso; 

2. inoltre, per essere vero, deve esserlo in tutti i casi che l'enunciato considera, altrimenti è falso.

Per alcuni enunciati, poi, si può dimostrare che non è possibile dedurre se siano veri o falsi (attenzione: pur essendolo): essi vengono detti indecidibili. Non significa che per essi ancora non si sia riusciti a dedurre la loro veridicità (cioè se siano veri o falsi), ma che è dimostrabile il fatto di non poterla dedurre! 

Gli enunciati possono essere riformulati come implicazioni, cioè come frasi in cui distinguere un "se..." (ipotesi) che implica necessariamente un "allora" (tesi).

Esempio: l'enunciato:

"Un triangolo isoscele ha gli angoli alla base congruenti" 

può essere riformulato così:

"Se un triangolo è isoscele, allora i suoi angoli alla base sono congruenti".

Per indicare l'implicazione, come notazione si utilizza la freccia che parte dalla tesi e punta alla tesi: 

Se poi ipotesi e tesi si implicano a vicenda, cioè se è vera anche l'implicazione opposta di una data, allora la freccia è doppia e la freccia viene letta così "se e solo se".

Esempio:

poiché è vero sia che: "Se un triangolo è isoscele, allora i suoi angoli alla base sono congruenti",

sia l'implicazione opposta: "Se un triangolo ha alla base angoli congruenti, allora il triangolo è isoscele",

allora si può enunciare: "Un triangolo è isoscele se e solo se i suoi angoli alla base sono congruenti",

Esempio:

poiché è vero sia che: "Se un triangolo è isoscele, allora i suoi angoli alla base sono congruenti",

sia l'implicazione opposta: "Se un triangolo ha alla base angoli congruenti, allora il triangolo è isoscele",

allora si può enunciare: "Un triangolo è isoscele se e solo se i suoi angoli alla base sono congruenti",

Ci sono diversi tipi di enucniati, a seconda di ciò che possono esprimere:

• ENTI PRIMITIVI o FONDAMENTALI: enunciati da cui ogni altra definizione proviene. Non possono perciò essere definiti, ma se ne descrivono le proprietà;

• DEFINIZIONI: enunciati in cui si assegna a un termine specifico il significato grazie a termini già definiti;

• ASSIOMI o POSTULATI: enunciati da cui ogni altro enunciato proviene. Non possono perciò essere dimostrati e li si accetta come veri senza dimostrazione; 

• TEOREMI: enunciati la cui verità è dedotta necessariamente da altri enunciati;

• CONGETTURE: enunciati non assiomatici, presunti veri, ma la cui verità non è ancora stata dimostrata;

• COROLLARI:  enunciati che conseguono immediatamente da teoremi appena enunciati e dimostrati.

Teoremi e corollari permettono di dimostrare le proprietà degli enti matematici.

Per dimostrare un teorema, una congettura, una proprietà o un corollario, spesso sono possibili più strade, ma tutte devono procedere per catene di deduzioni necessariamente conseguenti le une dalle altre. 

ATTENZIONE: in generale, un esempio non dimostra un enunciato. Se, però, l'enunciato è falso, poiché un enunciato o è vero in ogni caso o non lo è, a dimostrarne la falsità basta un esempio che lo contraddica: tale esempio è detto controesempio.

Nel linguaggio matematico si evitano ridondanze e dettagli superflui: ogni enunciato considera esattamente tutte e sole le parole che servono per esprimerlo. Ecco che allora ogni parte del discorso ha un preciso motivo d'essere. 

Per esempio, l'articolo indeterminativo ha la funzione di quantificatore universale: indicando un ente in un colpo solo si riferisce a tutti e soli gli enti che sono come lui, hanno cioè la stessa comune caratteristica. 

Esempio: in un triangolo, la somma degli angoli interni misura 180°.  Ciò significa che in ogni triangolo, ciò accade o, altrimenti detto, che la condizione di essere un triangolo è sufficiente affinché la somma degli angoli interni misuri 180°.

In ogni definizione deve essere perciò inequivocabile la caratteristica che accomuna tutti e soli gli enti considerati.