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I numeri triangolari si prestano a essere maestri capaci di solleticare il tuo senso matematico! Vediamone perciò alcune proprietà, ok? Se hai già guardato le successioni, avrai visto la formula di Gauss per la somma dei primi n numeri naturali: è la formula che genera tutti e soli i numeri triangolari!
PROPRIETÀ: la somma di 2 numeri triangolari consecutivi è un numero quadrato.
Precisamente:
Dimostrazione:
poiché ogni numero triangolare può essere espresso con la formula di Gauss, allora:
c.v.d.
Bella questa proprietà della somma di 2 numeri triangolari consecutivi, non trovi? Elegante nella sua semplicità! La domanda allora sorge spontanea (lo sai: per i matematici le proprietà sono come le ciliegie!): cosa succede se, anziché sommarli, li sottraiamo l'uno all'altro?
MATHLAB Prova a dedurre la proprietà della differenza fra 2 numeri triangolari consecutivi.
SOLUZIONE
Sottraendo all'n-esimo numero triangolare il suo precedente, si neutralizzano tutti i primi n-1 termini: resta perciò soltanto n. Quindi:
la differenza fra l'n-esimo numero triangolare e il suo precedente è uguale a n.
Ora ti propongo un'altra attività che sicuramente alimenterà il tuo senso critico...
MATHLAB Segui queste istruzioni, passo a passo:
1. leggi questo articolo, pubblicato da "La Provincia" di Como il 31 maggio 2025:
2. confrontati con i tuoi compagni: è corretto secondo te parlare di teorema? Come si potrebbe riformulare il testo della notizia? Quali altre considerazioni puoi condividere?
3. prova a esplicitare l'enunciato: "la somma fra il triplo di un numero triangolare e il suo successivo è ancora un numero triangolare", producendo gli esempi per i primi numeri triangolari. Che cosa noti? (ti potrà forse aiutare utilizzare la proprietà precedente);
4. generalizza quanto hai osservato: sapresti dire a quale numero triangolare corrisponda esattamente la somma fra il triplo di un numero triangolare e il suo successivo, cioè quale relazione ci sia fra il numero triangolare ottenuto e quello di partenza (n)?
5. verificato che il numero triangolare ottenuto è T2n+1 , cerca di dimostrarlo per via algebrica.
6. controlla la tua soluzione.
7. E se al triplo di un numero triangolare si sommasse il precedente, cosa si otterrebbe?
Davvero bravi, questi bambini, e grandissima anche la loro maestra Cristina Sperlari che ha saputo farli mettere in gioco per sviluppare in loro lo spirito di osservazione e l'astrazione! Così si fa!
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