QUANTI DIVISORI?

MATHLAB Dato un numero naturale n, è possibile dedurre facilmente quanti siano i suoi divisori, grazie al criterio di divisibilità generale. Provaci! Parti da un esempio numerico (per esempio  n = 12), fattorizza il numero e poi cerca di rispondere alle seguenti domande:

Step 1: quali sono i fattori primi che dividono n? Qual è la loro potenza massima che li divide?

Esempio: 

12 = 22 ∙3 

I fattori primi che dividono n sono 2 e 3. 

La loro potenza massima che divide n è rispettivamente 22 e 31 . 

Step 2: consideriamo tutti i divisori di ogni potenza massima appena individuata. Come hai visto nel criterio di divisibilità, moltiplicandoli nell'ordine otteniamo tutti i divisori di n, cioè ogni divisore è prodotto di potenze dei suoi numeri primi:

Esempio: 

12 = 22 ∙3 

D(12) =  {(a ∙ b)| a ∈ D(22) e b ∈ D(3)} = {1 ∙ 1 ; 1 ∙ 3; 2 ∙ 1; 2 ∙ 3; 22 ∙ 1; 22 ∙ 3} = {1; 3; 2; 6; 4; 12}

Step 3: quanti divisori ha un suo numero primo p (cioè un numero primo che sia parte della sua fattorizzazione e quindi lo divida)?

Esempio:  

D(2) = {1; 2} 

D(3) = {1; 3} 

card (D(2)) = card (D(3)) = 2    

Quindi: card (D(p)) = 2

Step 4: più in generale, quanti divisori ha una potenza di un numero primo p?

Esempio:  

D(22) = {1; 2; 22} 

card (D(22)) = 2 + 1 = 3

Quindi: card (D(pa)) = a +1

Step 5: qual è la cardinalità dell'insieme dei divisori di un prodotto?

Esempio:  

card (D(12)) =  card (D(22)) ∙ card (D(3)) = 3 ∙ 2 = 6

Quindi: card (D(a ∙ b)) = card (D(a) x  D(b)) = card (D(a )) ∙ card (D(b))

Step 6: astrai... quale regola generale puoi dedurre?

Concludiamo che: card (D(pa ∙ pb)) = card (D(pa )) ∙ card (D(pb)) = (a + 1)(b + 1)