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In quanti modi diversi si può esprimere un numero razionale in frazione?
Applicando la proprietà invariantiva di cui la divisione gode, cioè moltiplicando o dividendo sia il numeratore sia il denominatore per uno stesso numero naturale, otteniamo frazioni equivalenti a quella data, cioè che hanno lo stesso valore.
Questo significa che i quozienti che possono esprimere uno stesso numero razionale (quindi equivalenti) sono infiniti o, altrimenti detto, che ogni numero razionale q può essere espresso da infinite frazioni che hanno tutte lo stesso valore (q).
Esempio: q = 0,75 (notazione posizionale) = 3 : 4 (quoziente) = 6 : 8 (quoziente) = ...
Nell'esempio di cui sopra le 2 frecce sono della stessa lunghezza, sebbene l'intero della prima figura sia stato diviso in un numero di parti diverso da quello della seconda (4 parti la prima, 8 parti la seconda). Infatti:
La proprietà invariantiva permette, quindi, di trasformare una frazione in qualsiasi altra a sé equivalente.
Pensa alle frazioni fra loro equivalenti come ai vestiti di un armadio infinito fra cui un numero razionale sceglie prima di fare bella figura in una certa espressione!
Vuoi fissare nella mente il procedimento? Ti aiuto io con un'immagine, quella del fiore:
Allenati a visualizzare le frazioni equivalenti!
MATHLAB Visualizza le frazioni equivalenti, con questo laboratorio Phet Colorado:
La relazione fra frazioni equivalenti è una vera e propria relazione di equivalenza che ripartisce l'insieme di tutte le frazioni in classi di frazioni fra loro equivalenti.
Possiamo, allora, definire un numero razionale come il valore di una frazione e di tutte le frazioni a essa equivalenti.
Puoi allora considerare una terza classificazione delle frazioni, ripartendo l'insieme delle frazioni in classi di equivalenza: ogni classe conterrà tutte e sole le frazioni equivalenti a un'unità frazionaria data... ma allora quale frazione scegliere fra quelle equivalenti per indicare l'intera classe? Insomma: chi è la mascotte?
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