L'INSIEME I

Esistono numeri che non si possono esprimere sotto forma di frazione: sono i numeri decimali illimitati non periodici. Essi sono detti numeri irrazionali, poiché non sono razionali.

Alcuni sono frutto di un'estrazione di radice, poiché la radice quadrata non è un'operazione interna a ℚ.

A tal proposito, un bellissimo teorema di Julius Wilhelm Richard DEDEKIND (1831-1916) garantisce che la radice quadrata di numeri che non siano quadrati perfetti sono tutti irrazionali. Precisamente:

TEOREMA DI DEDEKIND: una radice quadrata è un numero razionale se e solo se il radicando è un quadrato perfetto.

Inoltre, alcuni sono soluzioni di particolari equazioni (polinomiali a coefficienti interi), altri no.

Gli irrazionali integrano l'insieme dei numeri razionali: la loro unione disgiunta ricopre tutto l'insieme dei numeri reali. Altrimenti detto: ℚ e 𝕀  ripartiscono ℝ.

Si può dimostrare che, come i naturali, gli interi e i razionali:

TEOREMA: i numeri irrazionali sono infiniti. 

e che, invece, a differenza loro:

PROPRIETÀ: l'insieme dei numeri irrazionali non è numerabile.