PRODOTTI NOTEVOLI

Alcuni termini ottenuti, però, possono essere fra loro simili, quindi il polinomio può essere ridotto in forma normale: il numero dei suoi termini, quindi, si riduce. Allora, in certi casi, può essere conveniente conoscerne e applicare direttamente lo sviluppo ridotto piuttosto che applicare l'intero processo (cioè prima applicare la proprietà distributiva e poi ridurre in forma normale).

Alcuni prodotti in cui questo accade sono di particolare rilievo perché il loro sviluppo può essere notevolmente ridotto e perché la loro espressione è talmente semplice da poter essere modello per espressioni letterali più complicate: tali prodotti per questi motivi vengono detti prodotti notevoli.

Trattandosi di uguaglianze, si applicano sia per sviluppare prodotti riconducibili ai prodotti notevoli (quindi passando dal prodotto alla somma algebrica) sia per fattorizzare somme algebriche riconducibili agli sviluppi dei prodotti notevoli (quindi, nella direzione inversa, passando dalla somma algebrica al prodotto): in entrambi i casi, occorre e basta prima riconoscere il prodotto notevole o il suo sviluppo e poi sostituire ad A e B le espressioni corrispondenti.

Per esempio: (3x + 2y)(3x - 2y) è un prodotto il cui sviluppo è di 2 ⋅ 2 = 4 termini, ma riducibili a 2. Infatti, è il prodotto di somma e differenza di 3x e 2y. Allora basta sostituire nel suo sviluppo (differenza dei quadrati di A e B) 3x al posto di A e 2y al posto di B, anziché sviluppare direttamente il prodotto, ottenendo subito la differenza fra il quadrato di 3x e il quadrato di 2y.

Consideriamo nell'ICONMAP precedente a = n, b=1. Otteniamo:

ritroviamo, cioè, l'evidenza geometrica del fatto che ogni numero dispari d = 2n +1 può essere espresso come differenza di 2 quadrati consecutivi. Verifichiamolo ora algebricamente, applicando i prodotti notevoli. Possiamo, infatti, sviluppare il quadrato di binomio e poi ridurre:

oppure fattorizzare la differenza dei 2 quadrati:

In entrambi i casi si ottiene:  

Abbiamo appena dimostrato, quindi, anche algebricamente ciò che già avevamo dimostrato per via geometrica: ogni numero dispari d si può esprimere nella forma 2n + 1 (motivo per cui si è scelta la notazione speciale 2N + 1 per contrassegnare l'insieme dei numeri dispari).