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Ora che hai conosciuto i numeri naturali per così dire "dall'interno", puoi scoprire quanto si assomiglino fra di loro...
Conoscere la fattorizzazione di 2 o più numeri ci permette di confrontarli e dedurre quali fattori primi abbiano in comune. 2 operatori in particolare ci permettono di farlo:
il Massimo Comune Divisore (MCD): fra tutti i divisori comuni a 2 o più naturali scelti, è il maggiore;
il minimo comune multiplo (mcm): fra tutti i multipli comuni a 2 o più naturali scelti, è il minore.
WARNING! Non lasciarti ingannare né dal nome né dal maiuscolo: nel MCD il "massimo" è relativo ai divisori comuni ai numeri naturali scelti, quindi non può essere maggiore dei 2 numeri! Così pure nel mcm il "minimo" è relativo ai multipli comuni a loro e non può essere minore dei 2 numeri!
Poiché i divisori sono minori o al più uguali ai numeri che dividono e i multipli sono maggiori o al più uguali ai numeri di cui sono multipli, allora:
MCD(a,b) ≤ mcm(a,b)
Per calcolare MCD e mcm, puoi usare il metodo degli insiemi:
MATHLAB Utilizza i grafi ad albero per fattorizzare e calcolare il MCD e il mcm di numeri dati.
Ora che hai capito il significato del MCD e del mcm, prova a dedurre la regola: in generale, quali fattori devo considerare per comporli, senza doverli necessariamente rappresentare con gli insiemi?
REGOLA OPERATIVA:
per comporre il MCD, occorre e basta considerare tutti e soli i fattori primi comuni, considerati con il loro minimo esponente;
per comporre il mcm, occorre e basta considerare tutti i fattori primi, comuni e non comuni, considerati con il loro massimo esponente.
Allora, per calcolare il MCD e il mcm fra 2 naturali, dalla loro superficie scendi nel profondo delle loro fattorizzazioni scomponendoli; quindi confrontale, scegli in modo opportuno fra i loro fattori quelli utili, quindi risali componendo il loro prodotto e poi... riemergi con il naturale che avrai composto!
TUTORMATH
TUTORMATH
Vuoi allenarti a calcolare il MCD e il mcm fra 2 numeri? Usa questo simulatore che, oltre alla fattorizzazione, mostra anche gli insiemi di divisori e multipli dai quali emergono MCD e mcm. Nel frattempo, ti saranno sicuramente saltate all'occhio le seguenti proprietà:
Si può notare che:
tutti i numeri primi distinti fra loro sono coprimi;
2 numeri sono coprimi se e solo se il loro MCD = 1.
Vale, inoltre, la seguente proprietà:
PROPRIETÀ: il prodotto di 2 numeri naturali a e b è uguale al prodotto fra il loro MCD e il loro mcm:
a ∙ b = MCD(a;b) ∙ mcm(a;b) ∀ a ∈ ℕ, ∀ b ∈ ℕ
Del resto, dati 2 numeri a e b, se il loro MCD è l'intersezione fra i fattori primi e il loro mcm ne è l'unione, moltiplicare MCD e mcm significa moltiplicare 1 volta i fattori primi non comuni e 2 volte i fattori primi comuni (quelli dell'intersezione che appartengono anche all'unione): quindi è considerarli nel prodotto una volta come fattori di a, completando così a, e un'altra come fattori di b, completando così b.
Per esempio:
Per calcolare il MCD fra 2 numeri, puoi ricorrere anche a un algoritmo che ti mostrerò più avanti. Per il mcm a mente, ricorri piuttosto alle tabelline!
Oltre a misurare la "somiglianza" fra 2 o più numeri, MCD e mcm hanno anche una utilità "pratica" per la risoluzione di problemi di vita quotidiana.
Ora che hai appreso le basi della divisibilità, scopri come i numeri primi siano i protagonisti dei codici segreti!
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