RAPPORTI E PROPORZIONI

Ogni significato della parola italiana rapporto sottintende che ci siano almeno 2 enti, cioè il rapporto non è una caratteristica di un singolo ente: per rapporto si intende sempre la relazione che c'è fra i 2, ciò che li mette in connessione o a confronto, pur nella specificità di ogni significato che poi il termine assume in contesti diversi.

Esempi: 

• nel rapporto fra madre e figlia, la relazione è "essere madre di...";

• nel rapporto fra figlia e madre, la relazione è "essere figlia di...";

• nel rapporto del punteggio di una partita sportiva 5 : 3, la relazione è "aver vinto 5 a 3" per la 1a squadra;

• nel rapporto del punteggio di una partita sportiva 5 : 3, la relazione è "aver perso 5 a 3" per la 2a squadra;

• nel rapporto 1 : 2, la relazione è "essere la metà di...";

• nel rapporto 2 : 1, la relazione è "essere il doppio di...".

Una relazione logica è quel che mette in connessione 2 soggetti.

Esempio: la relazione logica fra POTTER e GRIFONDORO è "appartenere alla Casa di Grifondoro".

Ogni numero può essere espresso dal rapporto fra 2 numeri, poiché antecedenti e conseguenti possono appartenere a qualsiasi insieme di numeri, ma non tutti i numeri possono essere espressi dal rapporto fra 2 interi. 

Quindi: se c'è almeno una possibilità per esprimere antecedente e conseguente in modo che appartengano entrambi a ℤ, allora il rapporto è un numero razionale, diversamente è un numero irrazionale, come già visto, cioè non esiste nessuna frazione a cui esso corrisponda (e, quindi, il rapporto si può proprio scrivere nella forma A/B ma non con A e B entrambi interi). 

Una proporzione logica è un'uguaglianza tra 2 relazioni logiche che hanno lo stesso significato.

Esempio: la relazione logica fra POTTER e GRIFONDORO e la stessa che c'è fra MALFOY e SERPEVERDE; essa è "appartenere alla Casa...".

Analogamente, una proporzione aritmetica è l'uguaglianza fra 2 rapporti equivalenti.

Una proporzione è vera se l'uguaglianza è vera, cioè se i 2 rapporti sono equivalenti:

A : B = C : D

cioè se esprimono la stessa relazione (e dal punto di vista numerico lo stesso numero), quindi se le relazioni fra ogni antecedente e il proprio conseguente sono fra loro uguali.

Poiché l'uguaglianza è simmetrica, se si scambiano i 2 rapporti fra loro, cioè diventa primo quello che era secondo e viceversa, la proporzione non cambia: è la stessa proporzione!

Esempio:       3 : 6 = 5 : 10     e      5 : 10 = 3 : 6 sono la stessa proporzione.

Ogni proporzione ha perciò 4 termini. 

Come già nei rapporti, a maggior ragione in una proporzione l'ordine dei termini è di fondamentale importanza e ogni termine ha un ruolo specifico:

• i 2 più vicini all'uguale (cioè quelli che stanno in mezzo) si dicono medi;

• i 2 più lontani si dicono estremi.

Se i medi sono uguali fra loro, allora la proporzione si dice continua.

Esempio:       3 : 9 = 9 : 27    

In ogni proporzione continua, poiché i medi sono uguali, li si indicano al singolare, cioè il dato a cui corrispondono i medi è detto medio proporzionale. 

Il valore del medio proporzionale è compreso fra quelli degli estremi:  

a ≤  b = c  ≤  d                    oppure                    a ≥  b = c  ≥  d