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Pitagora sarebbe felice di aiutarti, ma prima è necessario che tu ti metta in gioco...
MATHLAB Osserva con attenzione questa animazione e poi argomenta: che cosa noti?
Prova a enunciare sotto forma di teorema ciò che hai notato.
Attenzione: questa non è una dimostrazione, però prova che la tua intuizione è verosimile! Allora è tempo di presentarti ufficialmente il famosissimo teorema di Pitagora: per fare questo, mi lascerò aiutare da 2 amici molto speciali...
Interessante ciò che Bruno e Federico ti hanno presentato, vero? Fra poco ti accompagnerò a formalizzare l'enunciato del teorema, ma prima vorrei chiederti:
Sì: se studierai trigonometria in futuro, ti imbatterai nel teorema del coseno che permette proprio di determinare il terzo lato di un triangolo a partire dalle misure degli altri 2 e dell'angolo compreso: se quest'ultimo è retto, allora il teorema del coseno coincide proprio con il teorema di Pitagora!
Eccone, allora, l'enunciato, dalla sua forma più semplice...
... a quella più completa:
Quindi: il teorema di Pitagora è anche un criterio per classificare un triangolo rispetto agli angoli! Cerca di comprendere bene il suo enunciato con questo schema:
Siamo proprio sicuri che Pitagora abbia ragione? Dimostriamo il suo teorema!
Il Teorema di Pitagora ammette più di 300 dimostrazioni.
Molte di queste sono per equiscomposizione.
Eccone quella "classica", in immagine e animazione:
Ne vuoi vedere un'altra? Eccola: è piuttosto famosa e si deve a un certo Henry PERIGAL (1801-1898), non un vero matematico, piuttosto un dilettante che certo non pensava di diventare famoso per questa dimostrazione... cosa che prova che la matematica è davvero per tutti, non credi?
Ora prova tu a comporre e ricomporre per dimostrare il teorema di Pitagora!
MATHLAB Dimostra tu stesso il teorema, scomponendo i 2 quadrati costruiti sui cateti e, con i loro pezzi, ricomponendo il quadrato costruito sull'ipotenusa. Hai ben 3 scomposizioni diverse da scoprire!
E se hai già conosciuto la similitudine e i teoremi di Euclide, allora puoi dimostrare il teorema di Pitagora con il 2° teorema di Euclide! Clicca qui!
Questa dimostrazione è per costruzione, cioè si considera la figura di partenza e si aggiungono ulteriori elementi utili per mostrare quanto enunciato.
La seguente animazione te ne mostra un'altra - meravigliosa!!! - che si appella sempre alla similitudine:
L'idea è di usare 3 diversi ingrandimenti/riduzioni (omotetie) opportunamente scelti per il triangolo di partenza, moltiplicandone i lati prima per un fattore a uguale alla lunghezza di un cateto a, poi per un fattore b uguale alla lunghezza dell'altro cateto b e, infine, per un fattore c uguale alla lunghezza dell'ipotenusa c.
Si ottengono in questo modo 3 triangoli che hanno a 2 a 2 un lato coincidente e che, perciò, si compongono in un rettangolo:
tratto da "A colpo d'occhio" di Roberto Zanasi, in Archimede n. 4/2020
Andiamo ancora oltre... come prima ci è stato spoilerato, il teorema di Pitagora può essere generalizzato, utilizzando proprio la similitudine:
Questa "generalizzazione" è oggetto di una dimostrazione attribuita al celeberrimo fisico tedesco naturalizzato svizzero e statunitense Albert EINSTEIN (1879-1955), straordinaria per la sua semplicità, oltre che per il fatto che aveva circa la tua età quando gli venne in mente... sì sì, hai capito bene: aveva 12 anni quando l'ha scritta! E dalla dimostrazione della "generalizzazione" segue direttamente la dimostrazione del teorema di Pitagora: forte, vero?
Ora dovrebbe esserti chiaro come portare a termine la tua missione Diagon Alley, grazie al teorema di Pitagora, vero?
A proposito: hai notato che in questo caso le lunghezze dei 3 lati sono tutte numeri naturali (non è sempre così, eh)? Ebbene: il teorema di Pitagora è curiosamente legato a un celebre teorema dall'enunciato semplice, elegante e potente che riguarda proprio terne di questo tipo...
Pensa: una congettura che ha dovuto attendere più di 3 secoli per essere promossa a teorema, facendo scervellare i matematici di altrettante epoche e che oggi porta il nome di teorema di Fermat-Wiles! Chissà che uno dei problemi ancora aperti della matematica non si fregi in futuro del tuo nome?
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