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Pitagora sarebbe felice di aiutarti, ma prima è necessario che tu ti metta in gioco...
MATHLAB Osserva con attenzione questa animazione e poi argomenta: che cosa noti?
Prova a enunciare sotto forma di teorema ciò che hai notato.
Attenzione: questa non è una dimostrazione, però prova che la tua intuizione è verosimile! Allora è tempo di presentarti ufficialmente il famosissimo teorema di Pitagora: per fare questo, mi lascerò aiutare da 2 amici molto speciali...
Interessante ciò che Bruno e Federico ti hanno presentato, vero? Fra poco ti accompagnerò a formalizzare l'enunciato del teorema, ma prima vorrei chiederti:
Sì: se studierai trigonometria in futuro, ti imbatterai nel teorema del coseno che permette proprio di determinare il terzo lato di un triangolo a partire dalle misure degli altri 2 e dell'angolo compreso: se quest'ultimo è retto, allora il teorema del coseno coincide proprio con il teorema di Pitagora!
Eccone, allora, l'enunciato, dalla sua forma più semplice...
... a quella più completa:
Quindi: il teorema di Pitagora è anche un criterio per classificare un triangolo rispetto agli angoli! Cerca di comprendere bene il suo enunciato con questo schema:
Siamo proprio sicuri che Pitagora abbia ragione? Dimostriamo il suo teorema!
Il Teorema di Pitagora ammette più di 300 dimostrazioni.
Molte di queste sono per equiscomposizione.
Eccone quella "classica", in immagine e animazione:
Ne vuoi vedere un'altra? Eccola...
Ora prova tu a comporre e ricomporre per dimostrare il teorema di Pitagora!
MATHLAB Dimostra tu stesso il teorema, scomponendo i 2 quadrati costruiti sui cateti e, con i loro pezzi, ricomponendo il quadrato costruito sull'ipotenusa. Hai ben 3 scomposizioni diverse da scoprire!
E se hai già conosciuto la similitudine e i teoremi di Euclide, allora puoi dimostrare il teorema di Pitagora con il 2° teorema di Euclide! Clicca qui!
Questa dimostrazione è per costruzione, cioè si considera la figura di partenza e si aggiungono ulteriori elementi utili per mostrare quanto enunciato.
La seguente animazione te ne mostra un'altra - meravigliosa!!! - che si appella sempre alla similitudine:
Ora dovrebbe esserti chiaro come portare a termine la tua missione Diagon Alley, grazie al teorema di Pitagora, vero?
A proposito: hai notato che in questo caso le lunghezze dei 3 lati sono tutte numeri naturali (non è sempre così, eh)? Ebbene: il teorema di Pitagora è curiosamente legato a un celebre teorema dall'enunciato semplice, elegante e potente che riguarda proprio terne di questo tipo. Pensa, è una congettura che ha dovuto attendere più di 3 secoli per essere promossa a teprema, facendo scervellare i matematici di altrettante epoche e che oggi porta il nome di teorema di Fermat-Wiles...
Andiamo ancora oltre... come prima ci è stato spoilerato, il teorema di Pitagora può essere generalizzato:
Proprio questa "generalizzazione" è il punto di partenza di una dimostrazione del teorema di Pitagora attribuita a Einstein, straordinaria per la sua semplicità, oltre che per il fatto che aveva circa la tua età quando gli venne in mente... sì sì, hai capito bene: aveva 12 anni quando l'ha scritta!
Einstein stesso racconta di aver ricavato, “dopo molti sforzi”, una dimostrazione tutta sua del teorema di Pitagora quando era ancora adolescente, ma non ne offre i passaggi dettagliati, a meno del riferimento alla similitudine dei triangoli.
Successivamente si è attribuito ad Einstein una dimostrazione originale, di cui conosciamo i dettagli tramite Ernst Straus, uno dei primi assistenti di Einstein.
Essa è scandita nei seguenti passi:
ogni triangolo rettangolo T è scandito dall'altezza relativa all'ipotenusa in 2 triangoli rettangoli:
T1 che ha per ipotenusa il cateto a di T;
T2 che ha per ipotenusa il cateto b di T.
Da questa costruzione segue: area (T) = area (T1) + area (T2).
Si dimostra che T, T1 e T2 sono tutti simili fra loro (osservazione che è alla base anche dei 2 teoremi di Euclide).
3. Si costruisce ora su ogni lato di T un triangolo rettangolo simile a T la cui ipotenusa coincida con il singolo lato di T: precisamente indichiamo con Ta quello costruito sul cateto a, con Tb quello costruito sul cateto b e con Tc quello costruito sull'ipotenusa c.
4. Poiché sono simili, ciascun triangolo occupa la stessa frazione f dell’area del quadrato costruito sulla sua ipotenusa:
area (Ta) : a² = area (Tb) : b² = area (Tc) : c² = f
cioè:
area (Ta) = fa² , area (Tb) = fb² , area (Tc) = fc²
Infatti:
poiché il rapporto di similitudine fra Tb e Ta è b/a, cioè Tb : Ta = b : a, allora le loro aree stanno fra loro nel quadrato di tale rapporto, cioè:
area (Tb) : area (Ta) = (b : a)² = b² : a²
quindi:
area (Tb) = area (Ta) · b² / a².
poiché il rapporto di similitudine fra Tc e Ta è c/a, cioè Tc : Ta = c : a, allora le loro aree stanno fra loro nel quadrato di tale rapporto, cioè
area (Tc) : area (Ta) = (c : a)² = c² : a²
quindi:
area (Tc) = area (Ta) · c² / a².
Quindi, se area (Ta) = fa², allora:
area (Tb) = area (Ta) · b²/ a² = fa² · b²/a² = f · b² = fb²
area (Tc) = area (Ta) · c²/ a² = fa² · c²/a² = f · c² = fc²
5. Si dimostra facilmente che Ta = T1 , Tb = T2 , Tc = T.
6. Ma poiché area (T1) + area (T2) = area (T), allora area (Ta) + area (Tb) = area (Tc), cioè fa² + fb² = fc².
7. Dividendo poi entrambi i membri per f, si ottiene a² + b² = c².
c.v.d.
Forte, vero? E non finisce qui: guarda a quali meravigliose "costruzioni" dà vita questo potentissimo teorema...
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