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Come promesso, ecco a te la dimostrazione di una proprietà dei numeri di Fibonacci per induzione, una tecnica dimostrativa che si snoda in 4 passi consecutivi: una base in cui si mostra che la tesi è vera in un caso specifico, un'ipotesi induttiva in cui si suppone vera per un caso generico e, infine, un passo induttivo in cui si mostra come dall'ipotesi induttiva consegua necessariamente la tesi.
TESI: F(1) + F(2) + … + F(n) = F(n+2) - 1, per ogni n ≥ 1.
Dimostrazione:
Base: verifichiamo per n = 1
F(1) = 1 = 2 - 1 = F(3) - 1 VERO!
Ipotesi induttiva: supponiamo che sia vero per un certo k:
F(1) + F(2) + … + F(k) = F(k+2) - 1
Passo induttivo: dobbiamo dimostrare che vale per k+1. Per questo, aggiungiamo F(k+1) a entrambi i lati:
F(1) + F(2) + … + F(k) + F(k+1) = F(k+2) - 1 + F(k+1)
F(1) + F(2) + … + F(k+1) = F(k+2) + F(k+1) - 1
F(1) + F(2) + … + F(k+1) = F(k+3) - 1, poiché per definizione F(k+3) = F(k+2) + F(k+1)
Conclusione: avendo posto k+1 = n, si ha che F(1) + F(2) + … + F(n) = F(n+2) - 1, per ogni n ≥ 1.
c. v. d.
Hai ora un'arma dimostrativa in più al tuo attivo! Se vuoi, puoi provare a utilizzarla per dimostrare le altre 2 proprietà dei numeri di Fibonacci che ti ho presentato prima, altrimenti prosegui.
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