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La proprietà associativa viene spesso "bistrattata" da prof e tutor: quindi facciamo un po' di chiarezza, ti va? 2 sono le attenzioni da porre:
ATTENZIONE 1 La possibilità di associare (o dissociare) vale per ogni operazione, perché è esattamente ciò che fa ogni operazione aritmetica ed è operativamente ciò che si fa quando si riduce un'espressione, sostituendo a un'operazione il suo risultato. Non è, cioè, questo che caratterizza la proprietà associativa, come invece si legge in alcuni libri di testo.
Per comprendere il senso autentico della proprietà associativa, restringiamo il campo a operazioni con più di 2 termini consecutivi, cioè a espressioni che coinvolgano più di 2 termini associati dallo stesso tipo di operazione.
Esempio: 3 + 5 + 7 oppure 10 - 5 - 1 oppure 4 ⋅ 10 ⋅ 8 oppure 8 : 4 : 2
Il pieno significato dell'associatività si esprime, infatti, soltanto per alcune operazioni con più di 2 termini consecutivi (tipicamente nel caso di addizioni a più di 2 termini e moltiplicazioni a più di 2 termini) ed è qualcosa di ben più forte del poter semplicemente associare 2 termini, perché è:
* poter associare 2 termini consecutivi a scelta, senza che siano scritti fra parentesi (cioè senza avere precedenza nell'espressione in cui figurano, ma ricevendola una volta scelti), sostituendo alla loro operazione il risultato;
* poter dissociare un numero naturale in 2 o più termini a scelta, senza doverli scrivere fra parentesi (cioè senza dover dare loro precedenza nell'espressione in cui vengono a trovarsi), poiché la proprietà garantisce che il risultato non varierà, al momento della riduzione dell'espressione.
Esempio:
la proprietà associativa garantisce che si possano associare 5 e 7 nell'espressione 3 + 5 + 7 anche se non sono fra parentesi, cioè che, in assenza di parentesi, sia possibile scegliere se associare prima 3 e 5 (e quindi sostituire 3 + 5 con 8) piuttosto che associare prima 5 e 7 (e quindi sostituire 5 + 7 con 12):
3 + 5 + 7 = (3 + 5) + 7 = 8 + 7 = 15
ma anche
3 + 5 + 7 = 3 + (5 + 7) = 3 + 12 = 15
Analogamente, la proprietà associativa garantisce non che sia possibile dissociare un termine secondo l'operazione dell'espressione (in addendi se l'espressione è una somma o in fattori se è un prodotto), ma che sia possibile farlo secondo la modalità preferita senza doverlo scrivere fra parentesi, poiché la successiva riduzione dell'espressione porterà comunque allo stesso risultato:
3 + 5 + 7 = 3 + 1 + 4 + 7
ma anche
3 + 5 + 7 = 3 + 2 + 3 + 7;
invece
8 : 4 : 2 = 8 : (20 : 5) : 2
mentre
8 : 4 : 2 ≠ 8 : 20 : 5 : 2
Si tratta, cioè, di una questione di libertà di precedenza!
ATTENZIONE 2: la proprietà dissociativa NON ESISTE e nemmeno servirebbe che esistesse! Dissociare un numero naturale in somme o in prodotti senza necessità di scriverli fra parentesi è l'altro beneficio della stessa proprietà associativa, come la teoria dei gruppi e degli anelli ci insegna! La proprietà è una e una sola!
Introdurre la proprietà dissociativa come speculare della proprietà associativa a fini didattici, come a volte ne viene giustificato l'impiego, comporterebbe per coerenza la "duplicazione" anche delle altre proprietà, senza che ce ne sia un vantaggio per i discenti.
Ricorda: la matematica non ama la sovrabbondanza... e nemmeno l'incoerenza!
ATTENZIONE 3: occorre fare molta attenzione a non ingenerare nei discenti alcune misconcezioni evitabili che rischiano di minare l'apprendimento nel passare dall'insieme dei numeri naturali agli altri: bisogna evitare di enfatizzare caratteristiche che dipendono dall'insieme in cui si opera come se valessero in tutti gli insiemi, cioè come se fossero proprietà assolute.
Per esempio:
l'addizione, la moltiplicazione e l'elevamento a potenza non sempre accrescono il numero! Questo emerge chiaro, per esempio, nell'estensione da ℕ a ℚ: la frazione propria, in quanto operatore, fa decrescere il numero a cui si applica e ogni potenza con esponente diverso da 0 ne riduce il valore;
un numero non è tanto maggiore quanto sia distante dallo zero*: con i numeri relativi negativi succede esattamente il contrario;
la moltiplicazione è commutativa in tanti insiemi, ma non in tutti, cioè non lo è per natura. Ci sono insiemi in cui non lo è, per esempio nell'algebra lineare delle matrici, come mostra questo controesempio:
* si veda in proposito: D'amore, B.; Fandiño Pinilla M. I.; Marazzani, I.; Sbaragli S. (2023): "Le difficoltà di apprendimento in matematica", Bonomo Editore.
E questi sono soltanto alcuni possibili spunti di riflessione...
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