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ATTENZIONE 1 La possibilità di associare (o dissociare) vale per ogni operazione, perché è esattamente ciò che fa ogni operazione aritmetica ed è operativamente ciò che si fa quando si riduce un'espressione, sostituendo a un'operazione il suo risultato. 

Restringiamo il campo a operazioni con più di 2 termini consecutivi, cioè a espressioni che coinvolgano più di 2 termini associati dallo stesso tipo di operazione.

Esempio:  3 + 5 + 7 oppure 10  - 5 - 1  oppure 4 ⋅ 10 ⋅ 8  oppure 8  :  4  :  2

Il pieno significato dell'associatività si esprime, infatti, soltanto per alcune operazioni con più di 2 termini consecutivi (tipicamente nel caso di addizioni a più di 2 termini e moltiplicazioni a più di 2 termini) ed è qualcosa di ben più forte del poter semplicemente associare 2 termini, perché è:

* poter associare 2 termini consecutivi a scelta, senza che siano scritti fra parentesi (cioè senza avere precedenza nell'espressione in cui figurano, ma ricevendola una volta scelti), sostituendo alla loro operazione il risultato;

* poter dissociare un numero naturale in 2 o più termini a scelta, senza doverli scrivere fra parentesi (cioè senza dover dare loro precedenza nell'espressione in cui vengono a trovarsi), poiché la proprietà garantisce che il risultato non varierà, al momento della riduzione dell'espressione.

Esempio:  

la proprietà associativa garantisce che si possano associare 5 e 7 nell'espressione 3 + 5 + 7 anche se non sono fra parentesi, cioè che, in assenza di parentesi, sia possibile scegliere se associare prima 3 e 5 (e quindi sostituire 3 + 5 con 8) piuttosto che associare prima 5 e 7 (e quindi sostituire 5 + 7 con 12):

3 + 5 + 7 = (3 + 5) + 7 = 8 + 7  = 15

ma anche 

3 + 5 + 7 = 3 + (5 + 7) = 3 + 12 = 15

Analogamente, la proprietà associativa garantisce non che sia possibile dissociare un termine secondo l'operazione dell'espressione (in addendi se l'espressione è una somma o in fattori se è un prodotto), ma che sia possibile farlo secondo la modalità preferita senza doverlo scrivere fra parentesi, poiché la successiva riduzione dell'espressione porterà comunque allo stesso risultato:

 3 + 5 + 7 = 3 + 1 + 4 + 7 

ma anche 

3 + 5 + 7 = 3 + 2 + 3 + 7;

invece

8 : 4 : 2 =  8 : (20 : 5) : 2

mentre

8 : 4 : 2 ≠ 8 : 20 : 5 : 2

ATTENZIONE 2: la proprietà dissociativa NON ESISTE e nemmeno servirebbe che esistesse! Dissociare un numero naturale in somme o in prodotti senza necessità di scriverli fra parentesi è l'altro beneficio della stessa proprietà associativa, come la teoria dei gruppi e degli anelli ci insegna! La proprietà è una e una sola!

Introdurre la proprietà dissociativa come speculare della proprietà associativa a fini didattici, come a volte ne viene giustificato l'impiego, comporterebbe per coerenza la "duplicazione" anche delle altre proprietà, senza che ce ne sia un vantaggio per i discenti.