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Ciao, Prof! Condivido con te alcune osservazioni che penso possano ritornarti utili!
1. LA POTENZA: UNA DEFINIZIONE A 3 STEP
La definizione di potenza varia in funzione dell'esponente:
Del resto come si potrebbe mai definire prodotto una potenza che abbia un esponente < 2? La moltiplicazione è binaria, presuppone 2 termini, perciò il prodotto... non c'è!
Quindi: per definire la potenza occorre distinguere i 3 casi.
Un altro errore comune è cercare di dimostrare ciò che invece è dato per definizione, cioè il significato delle potenze con esponente 1 oppure 0. Ebbene: la definizione nei 2 casi "speciali" (n = 0 e n = 1) è l'unica possibile affinché le proprietà delle potenze siano coerenti. Questo (e non la definizione!) è ciò che si può dimostrare.
Per esempio:
Poiché il quoziente fra un numero nonnullo e se stesso (cioè am : am) è 1, se la definizione delle potenze con esponente 0 fosse diversa da 1, la proprietà relativa al quoziente di potenze con uguale esponente sarebbe incoerente perché non valida per potenze con uguale esponente.
Quindi, le proprietà delle potenze, attraverso la catena di uguaglianze appena scritta, non dimostrano affatto che a0 = 1, bensì dimostrano che aver definito a0 = 1 è l'unico modo perché esse possano valere!
Ricorda: a0 = 1 (con a nonnullo) e a1 = a non sono proprietà, bensì definizioni!
Sicuramente già lo avevi chiaro, ma magari così non è per i tuoi allievi o per l'autore del tuo libro di testo: come si dice, repetita iuvant!
Ora, se ci limitiamo al caso di potenze con esponente > 1, allora è importante specificare il concetto di ripetizione:
2. CONFRONTO FRA MOLTIPLICAZIONE ED ELEVAMENTO A POTENZA
Moltiplicazione ed elevamento a potenza sono generalmente (per quanto appena detto) operazioni ripetute di uno stesso numero:
moltiplicazione = addizione ripetuta di uno stesso addendo (nel caso in cui il coefficiente > 1)
elevamento a potenza = moltiplicazione ripetuta di uno stesso fattore (nel caso in cui l'esponente > 1)
Si può quindi fare notare agli studenti questa bella analogia: sia la moltiplicazione sia l'elevamento a potenza hanno in realtà un unico protagonista, rispettivamente il 2° fattore e la base, mentre coefficiente ed esponente giocano in entrambi i casi il ruolo di "contatori", con una differenza, però:
poiché negli insiemi di numeri la moltiplicazione è commutativa, i fattori possono scambiarsi di ruolo:
esempio: 3 ∙ 2 = 2 + 2 + 2 = 3 + 3 = 2 ∙ 3
e quindi questo fa sì che di fatto abbiano lo stesso peso specifico che giustifica la notazione abituale (in cui sono scritti con stessa dimensione e posizione);
poiché l'elevamento a potenza, invece, non è commutativo, l'esponente concorre alla potenza esclusivamente come contatore. Da qui l'adozione della notazione universale in cui l'esponente è scritto più piccolo, come apice della base.
Occorre, però, porre un'ulteriore attenzione proprio sul concetto di ripetizione...
3. COSA E QUANTE VOLTE SI RIPETE?
Vedo talvolta nei libri di testo un errore in cui noi docenti non dobbiamo assolutamente cadere!
Il coefficiente nella moltiplicazione e l'esponente nell'elevamento a potenza non indicano rispettivamente il numero di volte in cui l'addizione o la moltiplicazione è ripetuta, bensì rispettivamente il numero degli addendi o dei fattori coinvolti.
Esempio: 3 ∙ 7 = 7 + 7 + 7 → 7 è addizionato a se stesso 2 volte (non 3) e l'addizione ( _+ 7) è ripetuta 1 volta (non 3)
Quindi, per A>1, non diremo che:
la moltiplicazione A ∙ B è l'addizione di B ripetuta A volte, bensì diremo che:
la moltiplicazione A ∙ B è la somma di A addendi uguali a B
Analogamente, per A>1, non diremo che:
l'elevamento a potenza BA è la moltiplicazione di B ripetuta A volte, bensì diremo che:
l'elevamento a potenza BA è il prodotto di A fattori uguali a B
Ultimo spunto (almeno per ora): mi sono accorta che interpretare la composizione dei MathCubes® come prodotto permette di cogliere a colpo d'occhio il significato di potenza e di vedere le proprietà delle potenze, oltre che favorire la comprensione della fattorizzazione in numeri primi.
4. COME VISUALIZZARE (E "MANIPOLARE") LE POTENZE?
La visualizzazione e la manipolazione aiuta molto lo sviluppo del pensiero aritmetico nei pre-adolescenti.
Per questo, utilizzare i MathCubes® può essere molto utile. In quale modo?
Poiché l'essenza dei numeri naturali risiede nella loro fattorizzazione, secondo il teorema fondamentale dell'aritmetica, allora da qui possiamo partire per rappresentarli. In prima battuta ogni cubetto rappresenta un numero naturale, quindi la composizione di cubetti corrisponde al prodotto di tali numeri, formando un grattacielo; quando si esaminerà la divisibilità ogni naturale potrà essere a sua volta rappresentato dalla composizione di tutte le potenze dei suoi fattori primi.
Se i cubetti composti sono tutti dello stesso colore, si è di fronte a una potenza la cui base è indicata dal colore del grattacielo e il cui esponente è indicato dal numero dei cubetti composti, cioè dall'altezza del grattacielo che si viene a formare: questo illustra bene l'idea intuitiva di elevamento a potenza, poiché all'aumentare dell'esponente aumenta l'altezza del grattacielo.
E non solo: la composizione con i cubetti permette di visualizzare a colpo d'occhio le proprietà delle potenze che sappiamo essere uno scoglio (a volte ancora per alcuni liceali) a causa della somiglianza fra l'una e l'altra.
Per esempio, con i cubetti diventa immediato comprendere che il prodotto di 2 potenze con ugual base è:
* ancora una potenza... : i mattoncini sono tutti dello stesso colore (o, se la base è un prodotto, i piani del grattacielo tutti uguali fra loro);
* ... che ha per base la stessa base... : i piani di tutti i grattacieli sono tutti uguali fra loro;
* ... e per esponente la somma degli esponenti: l'altezza del grattacielo risultante è data dalla somma delle altezze dei grattacieli composti.
Unica attenzione: a livello manipolatorio, bisognerà fare bene distinguere l'addizione dalla moltiplicazione.
Quindi:
raggruppare i cubetti, senza comporli = addizionarli;
comporre i cubetti = moltiplicarli.
Funziona, provare per credere! Testa anche tu questa proposta e, se vuoi, condividi con me le tue impressioni via em@il!
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