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Le proprietà del permutare e dell'invertire spesso vengono confuse fra loro, poiché in entrambi i casi avviene uno scambio. E non solo: a volte vengono confuse anche con la proprietà di simmetria dell'uguaglianza che garantisce che scambiando i membri fra loro l'uguaglianza si conservi.

La nostra mediazione deve, allora, cercare di facilitare nelle studentesse e negli studenti la distinzione fra l'azione del permutare e dell'invertire. Può aiutare in questo senso:

Evidenzia che si ottengono in entrambi i casi nuove proporzioni, mentre scambiare i 2 piatti fra di loro, invece, non cambia la proporzione.

Prima di cominciare gli scambi, si potrà fare notare che:

• gli antecedenti hanno lo stesso ruolo nel rapporto, così come i conseguenti fra loro (stesso colore);

• i medi non hanno lo stesso ruolo, così come gli estremi fra loro (diverso colore), ma hanno in comune la posizione rispetto a all'uguale, così come per gli estremi;

• in una proporzione non c'è nessun termine che abbia sia ugual ruolo sia uguale posizione di un altro! Non è un fatto così banale e se saranno i ragazzi a notarlo... non lo dimenticheranno facilmente!

• la proporzione compone la scritta EMME, facile da ricordare pensando alla lettera dell'alfabeto M che si legge in questo modo: questo aiuta soprattutto i ragazzi con difficoltà visuo-spaziali a ricordare i nomi dei termini di una proporzione in funzione della loro posizione rispetto all'uguale;

• non ha importanza in quale parte rispetto alla sedia stiano le 2 coppie, poiché la sedia ne decreta l'uguaglianza: in questo modo visualizzano la simmetria dell'uguaglianza. E se si volessero scambiare, mantenendo inalterati i ruoli nei rapporti, si otterrebbe la stessa proporzione (è vero che la scritta diverrebbe MEEM, ma rimarrebbe comunque palindroma).

Quindi, potrà emergere evidente che:

• la proprietà dell'invertire altera la scritta EMME in MEEM: in ogni caso resta palindroma, contro la tentazione di invertire solo in un membro (MEME o EMEM non sono mai ammessi!), e non cambia di membro ciò che coinvolge, poiché non si supera la sedia. Si tratta, cioè, dello stratagemma che adottano per risolvere proporzioni in cui l'antecedente noto siano divisore del conseguente noto 

Esempio  8 : 40 = x : 50 

• la proprietà  del permutare mantiene invariata la scritta EMME, ma cambia di membro ciò che coinvolge e finisce per mettere a confronto (rapporto) termini che nei rapporti iniziali avevano lo stesso ruolo (stesso colore di pettorina da uno stessa parte rispetto alla sedia). Si tratta, cioè, dello stratagemma che adottano per risolvere proporzioni in cui gli antecedenti noti (o i conseguenti noti) siano uno multiplo dell'altro 

Esempio  5 : 17 = 10 : x

Fare scoprire alle studentesse e agli studenti che di fatto, senza saperlo, utilizzano già le proprietà permetterà loro di comprenderne meglio la portata.

Infine, si potranno invitare a comporre più proprietà, per determinare delle leggi universali (esempio: sfidarli a comporle in modo da ottenere la stessa proporzione di partenza): in questo modo si favorisce in loro il pensiero proprio della composizione di trasformazioni che ritroveranno nelle isometrie e, più avanti, nelle funzioni di funzione.