INSIEMI  DI NUMERI: PROPRIETÀ

Gli insiemi di numeri (quelli contrassegnati da lettere speciali, ma anche loro sottoinsiemi) possono essere classificati secondo diversi criteri. 

Precisamente, un insieme numerico può essere:

• FINITO o INFINITO: come già visto, è finito se ha un numero finito di elementi, cioè se la sua cardinalità è finita, diversamente è infinito.

Esempio: ℕ è infinito, poiché la sua cardinalità è infinita. 

• ORDINATO o NON ORDINATO: sappiamo che in generale in un insieme l'ordine non conta, cioè non è ordinato; in alcuni insieme, invece, sì. Tutti gli insiemi di numeri sono ordinati, poiché per i suoi elementi è definita una relazione d'ordine, cioè un criterio che permetta di confrontare gli elementi fra loro. Precisamente, la relazione d'ordine permette di stabilire, per ogni coppia di elementi, chi dei 2 viene prima e chi viene dopo (o se sono uguali), secondo il loro valore.

Esempio: ℕ è ordinato, poiché in esso è definita una relazione d'ordine che posiziona a sinistra il numero che ha un valore minore e a destra quello che ha un valore maggiore: n ≤ n+1, per ogni naturale n.

• NUMERABILE o NON NUMERABILE: è numerabile se tutti i suoi elementi possono essere disposti in almeno una sequenza che permetta di enumerarli tutti, anche se infiniti, cioè di elencarli come si fa per contare, uno dopo l'altro; diversamente è non numerabile. 

Ogni insieme finito è evidentemente numerabile (basta elencarne gli elementi, a uno a uno, in un qualsiasi ordine); la distinzione si fa interessante con gli insiemi infiniti per i quali la sequenza deve essere generalizzata (poiché l'insieme è infinito): essa deve considerare tutti gli elementi.

Esempio: ℕ è numerabile, poiché una sequenza utile è proprio quella della relazione d'ordine: 0, 1, 2, 3, .Anche 2ℕ, 2ℕ+1, ℤ e ℚ e sono numerabili. ℝ, invece, non è numerabile, come ha mostrato Cantor.

• DISCRETO o DENSO: un insieme ordinato si dice discreto quando ogni suo elemento è isolabile dagli altri: attorno a ciascun punto esiste uno spazio libero, un piccolo intervallo, che non contiene altri elementi dell'insieme, cioè se di ogni numero dell'insieme è possibile stabilire l'elemento dell'insieme che viene immediatamente prima e quello che viene immediatamente dopo, detti il precedente e il successivo (ad eccezione dei soli eventuali estremi). Un insieme che non sia discreto è detto denso, cioè se considerati 2 numeri qualsiasi n e m dell'insieme si può individuare sempre almeno un numero q fra gli infiniti numeri  compresi tra n e m  (n<q<m).

Ogni insieme numerico finito è discreto; quindi, anche in questo caso, l'essere discreto o denso è interessante per gli insiemi infiniti. Inoltre, se un insieme è denso, è certamente infinito.

Esempio: ℕ è discreto: preso un numero intero qualsiasi, ad esempio 5, possiamo sempre trovare un intervallo attorno a 5 (ad esempio da 4,5 a 5,5) che non contiene nessun altro numero intero. Anche ℤ è discreto. ℚ, invece, è denso: infatti, dato un numero razionale, non è possibile stabilire chi sia il suo precedente o il suo successivo.

• COMPLETO o INCOMPLETO: un insieme ordinato dnso si dice completo quando "non ha buchi", cioè quando ogni suo elemento è corrispondenza con i punti della retta.

Esempio: ℝ è continuo.