PROPRIETÀ DI  ℚ

Poiché le 4 operazioni elementari sono interne all'insieme ℚ, allora ℚ è chiuso rispetto alle 4 operazioni elementari.

ℚ è denso: fra 2 numeri razionali qualsiasi è sempre possibile individuare un altro numero razionale. 

Altrimenti detto: in ogni intervallo di numeri razionali è sempre possibile individuare un altro numero razionale diverso dagli estremi. 

Si può dimostrare la densità di ℚ in tanti modi. 

Uno è calcolare la media aritmetica fra i 2 valori (semi-somma dei 2 valori): poiché la semi-somma di 2 frazioni è ancora una frazione, la media aritmetica fra i 2 valori è ancora un numero razionale compreso fra i 2 valori, come hai visto nel MathLab.

Un altro è, per esempio, dimostrare che, date 2 frazioni a/b < c/d, c'è almeno una frazione compresa fra le 2; questa è, per esempio, la frazione (a+c)/(b+d) è tale che:

Quindi non è possibile determinare il precedente e il successivo di un numero razionale, a differenza di quanto accade per i numeri interi e per i naturali diversi da 0. Quindi non c'è consecutività fra numeri razionali, poiché non è possibile elencare tutti i singoli elementi che li caratterizzano. Tuttavia, poiché ℚ è ordinato e numerabile, il fatto che non si possa stabilire quale sia il successivo di un numero razionale non impedisce di confrontare 2 razionali per stabilire chi sia il maggiore né di considerare in una certa successione infinita tutti i razionali.

Inoltre, in ℚ la moltiplicazione non sempre accresce gli operandi, così come la divisione non sempre li riduce. Infatti, se nell'insieme ℕ dei numeri naturali, il prodotto è:

• nullo, se almeno uno dei 2 fattori è 0;

• uguale a uno dei 2 fattori, se almeno uno dei 2 fattori è 1;

• maggiore dei 2 fattori, altrimenti;

invece in  ℚ il prodotto accresce gli operandi se e solo se sono entrambi maggiori di 1; analogamente in ℚ il quoziente riduce gli operandi se e solo se il divisore è maggiore di 1.