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Ripercorriamo i passi di una dimostrazione di una bellezza inaudita del teorema di Pitagora che non si basa sulla costruzione di quadrati bensì di triangoli.
Einstein stesso racconta di aver ricavato, “dopo molti sforzi”, una dimostrazione tutta sua del teorema di Pitagora quando era ancora adolescente, ma non ne offre i passaggi dettagliati, a meno del riferimento alla similitudine dei triangoli. Si è poi attribuito ad Einstein una dimostrazione originale, di cui conosciamo i dettagli tramite Ernst Straus, uno dei primi assistenti di Einstein.
Essa è scandita nei seguenti passi:
STEP 1. SCOMPOSIZIONE DEL TRIANGOLO RETTANGOLO IN TRIANGOLI SIMILI
Si considera un triangolo rettangolo T, esso è scandito dall'altezza relativa all'ipotenusa in 2 triangoli rettangoli:
T1 che ha per ipotenusa il cateto a di T;
T2 che ha per ipotenusa il cateto b di T.
Da questa costruzione segue: area (T) = area (T1) + area (T2).
Si dimostra che T, T1 e T2 sono tutti simili fra loro
STEP 2. COSTRUZIONE DEI TRIANGOLI RETTANGOLI SIMILI SU OGNI LATO
Si costruisce ora su ogni lato di T un triangolo rettangolo simile a T la cui ipotenusa coincida con il singolo lato di T.
Precisamente indichiamo con:
Ta quello costruito sul cateto a;
Tb quello costruito sul cateto b;
Tc quello costruito sull'ipotenusa c.
STEP 3. RAPPORTO FRA I TRIANGOLI E I QUADRATI COSTRUITI SUI LATI
Poiché sono simili, ciascun triangolo occupa la stessa frazione f dell’area del quadrato costruito sulla sua ipotenusa:
area (Ta) : a² = area (Tb) : b² = area (Tc) : c² = f
cioè:
area (Ta) = fa², area (Tb) = fb², area (Tc) = fc²
Infatti:
poiché il rapporto di similitudine fra Tb e Ta è b/a, cioè Tb : Ta = b : a, allora le loro aree stanno fra loro nel quadrato di tale rapporto, cioè area (Tb) : area (Ta) = (b : a)² = b² : a²
quindi: area (Tb) = area (Ta) · b² / a².
poiché il rapporto di similitudine fra Tc e Ta è c/a, cioè Tc : Ta = c : a, allora le loro aree stanno fra loro nel quadrato di tale rapporto, cioè area (Tc) : area (Ta) = (c : a)² = c² : a²
quindi: area (Tc) = area (Ta) · c² / a².
Quindi, se area (Ta) = fa², allora:
area (Tb) = area (Ta) · b²/ a² = fa² · b²/a² = f · b² = fb²
area (Tc) = area (Ta) · c²/ a² = fa² · c²/a² = f · c² = fc²
STEP 4. EQUIVALENZA FRA I TRIANGOLI COSTRUITI E I TRIANGOLI IN CUI IL TRIANGOLO È SCOMPOSTO
Si dimostra facilmente che Ta = T1 , Tb = T2 , Tc = T. Infatti:
Ta e T1 e sono simili;
poiché il rapporto fra le rispettive ipotenuse è k = 1, allora sono congruenti;
Tb e T2 e sono simili;
poiché il rapporto fra le rispettive ipotenuse è k = 1, allora sono congruenti;
Tc e T e sono simili;
poiché il rapporto fra le rispettive ipotenuse è k = 1, allora sono congruenti.
STEP 5. CONCLUSIONE
Poiché area (T1) + area (T2) = area (T), allora:
area (Ta) + area (Tb) = area (Tc), cioè fa² + fb² = fc².
Dividendo poi entrambi i membri per f, si ottiene:
a² + b² = c².
c.v.d.
Meravigliosa, vero? Riprendi ora il tuo percorso e guarda a quali altre meraviglie "costruzioni" dà vita questo potentissimo teorema...
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