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Ricorda:
2 enti geometrici si dicono equivalenti se occupano la stessa quantità di spazio. Quindi:
2 solidi sono equivalenti se hanno lo stesso volume.
Dei solidi che abbiamo classificato possiamo studiare 2 aspetti: la loro estensione nel piano (area totale) e quella nello spazio (volume). Nel formulario ragionato, ti ho dettagliato come dedurle, avendo distinto i solidi a 2 basi da quelli a punta (e 1 base), poiché da questa caratteristica discendono le rispettive formule.
Ora qui desidero aiutarti a visualizzarne solo alcune, come il volume della piramide...
Quindi ogni cubo può essere ripartito in 3 piramidi equivalenti, come hai appena visto, svuotandole nel prisma. E non solo piramidi rette, sai? Guarda!
E il cono? Ecco come calcolare la sua area laterale...
E la sfera? Non si può dedurne area e volume da isometrie, omotetie o estrusione...
Dedurre il volume e l'area della sfera può non essere immediato, ma è molto più semplice di quanto si creda.
Per il volume della sfera, si può ricorrere al principio di Cavalieri.
Scopri questo notevole teorema del matematico Bonaventura CAVALIERI (1598-1647)!
MATHLAB Segui il percorso laboratoriale che ti è offerto in queste pagine:
(tratto da "Numb3rs" di Gianfranco Bo - Laboratorio ideato da Federico Oliva e Silvia Tripodina)
... e allora che cosa ne puoi dedurre?
Il volume della sfera è il doppio del volume della semisfera.
Quindi, utilizzando l'equivalenza appena mostrata dal laboratorio, si ottiene:
Vuoi rivedere la dimostrazione, passo a passo? Guarda il video:
E per l'area della sfera?
L'area della sfera è il quadruplo dell'area del cerchio massimo, cioè di quella del cerchio che ha raggio congruente a quello della sfera:
Come dimostrarlo? Anche questo non è difficile, credimi! Guarda bene, passo a passo:
Per la dimostrazione, si procede con una costruzione simile a quella impiegata per dedurre l'area del cerchio (dimostrazione per spicchi):
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